Question

有一块边长为4米的正方形钢板，现对其进行切割，焊接成一个长方体无盖容器（切、焊损耗忽略不计），有人用数学知识作了如下设计：在钢板的四个角处各切去一个小正方形，剩余部分围成长方体。
（Ⅰ）求这种切割、焊接而成的长方体的最大容积.
（Ⅱ）请问：能重新设计，使所得长方体的容器的容积吗？若能、给出你的一种设计方案。

Answer 1

（Ⅰ）(m³)；（Ⅱ）能（参考解析）

解析试题分析：（Ⅰ）根据题意可得假设每个小正方形的边长为x.则通过折叠可得一个无盖的正方体.所以可以求出正方体的体积的表达.通过求导可求得体积的最大值.
（Ⅱ）本小题的设计较困难.通过对比和体积公式的应用可以假设出较多的方案.本小题的设计方案具有一定的技巧性.
试题解析：（1）设切去的小正方形边长为x.则.所以.所以当时. .当时. .所以当时. (m³).
(2)能.如图所示.先在在正方形一边的两个角出各切下一个边长为1米的小正方形.再将这两个小正方形焊接在另一边的中间.然后焊接成长方形容器.此时. .

考点：1.正方体的体积的求法.2.导数求最值.3.创新思维的构造.