精英家教网 > 高中数学 > 题目详情
已知函数f(x)=ax2+lnx(a∈R).
(1)当a=
1
2
时,求f(x)在区间[1,e]上的最大值和最小值;
(2)如果函数g(x),f1(x),f2(x),在公共定义域D上,满足f1(x)<g(x)<f2(x),那么就称为g(x)为f1(x),f2(x)的“活动函数”.
已知函数f1(x)=(a-
1
2
)x2+2ax+(1-a2)lnx
f2(x)=
1
2
x2+2ax

①若在区间(1,+∞)上,函数f(x)是f1(x),f2(x)的“活动函数”,求a的取值范围;
②当a=
2
3
时,求证:在区间(1,+∞)上,函数f1(x),f2(x)的“活动函数”有无穷多个.
分析:(1)由题意得f(x)=
1
2
x2+lnx
f′(x)=x+
1
x
=
x2+1
x
>0,∴f(x)在区间[1,e]上为增函数,即可求出函数的最值.
(2)①由题意得:令p(x)=f(x)-f2(x)=(a-
1
2
)x2-2ax+lnx
<0,对x∈(1,+∞)恒成立,且h(x)=f1(x)-f(x)=-
1
2
x2+2ax-a2lnx
<0对x∈(1,+∞)恒成立,p′(x)=
(x-1)[(2a-1)x-1]
x
分类讨论当a>
1
2
a≤
1
2
时两种情况求函数的最大值,可得到a的范围.又因为h′(x)=-x+2a-
a2
x
=
-x2+2ax-a2
x
=
-(x-a)2
x
<0,h(x)在(1,+∞)上为减函数,可得到a的另一个范围,综合可得a的范围.
②设y=f2(x)-f1(x)=
1
3
x2-
5
9
lnx,x∈(1,+∞).因为y′=
2x
3
-
5
9x
=
6x2-5
9x
>0,y=f2(x)-f1(x)在(1,+∞)为增函数,
所以f2(x)-f1(x)>f2(1)-f1(1)=
1
3
.设R(x)=f1(x)+
1
3
λ
(0<λ<1),则f1(x)<R(x)<f2(x).
解答:解:(1)当a=
1
2
时,f(x)=
1
2
x2+lnx
f′(x)=x+
1
x
=
x2+1
x

对于x∈[1,e],有f'(x)>0,∴f(x)在区间[1,e]上为增函数,
fmax(x)=f(e)=1+
e2
2
fmin(x)=f( 1 )=
1
2

(2)①在区间(1,+∞)上,函数f(x)是f1(x),f2(x)的“活动函数”,则f1(x)<f(x)<f2(x)
p(x)=f(x)-f2(x)=(a-
1
2
)x2-2ax+lnx
<0,对x∈(1,+∞)恒成立,
且h(x)=f1(x)-f(x)=-
1
2
x2+2ax-a2lnx
<0对x∈(1,+∞)恒成立,
p′(x)=(2a-1)x-2a+
1
x
=
(2a-1)x2-2ax+1
x
=
(x-1)[(2a-1)x-1]
x

1)若a>
1
2
,令p′(x)=0,得极值点x1=1,x2=
1
2a-1

当x2>x1=1,即
1
2
<a<1
时,在(x2,+∞)上有p′(x)>0,
此时p(x)在区间(x2,+∞)上是增函数,并且在该区间上有p(x)∈(p(x2),+∞),不合题意;
当x2<x1=1,即a≥1时,同理可知,p(x)在区间(1,+∞)上,有p(x)∈(p(1),+∞),也不合题意;
2)若a≤
1
2
,则有2a-1≤0,此时在区间(1,+∞)上恒有p′(x)<0,
从而p(x)在区间(1,+∞)上是减函数;
要使p(x)<0在此区间上恒成立,只须满足p(1)=-a-
1
2
≤0
?a≥-
1
2

所以-
1
2
≤a≤
1
2

又因为h′(x)=-x+2a-
a2
x
=
-x2+2ax-a2
x
=
-(x-a)2
x
<0,h(x)在(1,+∞)上为减函数,
h(x)<h(1)=-
1
2
+2a≤0,所以a≤
1
4

综合可知a的范围是[-
1
2
1
4
].
②当a=
2
3
时,f1(x)=
1
6
x2+
4
3
x+
5
9
lnx,f2(x)=
1
2
x2+
4
3
x

则y=f2(x)-f1(x)=
1
3
x2-
5
9
lnx,x∈(1,+∞).
因为y′=
2x
3
-
5
9x
=
6x2-5
9x
>0,y=f2(x)-f1(x)在(1,+∞)为增函数,
所以f2(x)-f1(x)>f2(1)-f1(1)=
1
3

设R(x)=f1(x)+
1
3
λ
(0<λ<1),则f1(x)<R(x)<f2(x),
所以在区间(1,+∞)上,函数f1(x),f2(x)的“活动函数”有无穷多个.
点评:本题考查的知识点是利用导数求函数的最值,利用最值解决恒成立问题,二对于新定义题型关键是弄清新概念与旧知识点之间的联系即可,结合着我们已学的知识解决问题,这是高考考查的热点之一.
练习册系列答案
相关习题

科目:高中数学 来源: 题型:

已知函数f(x)=
a-x2
x
+lnx  (a∈R , x∈[
1
2
 , 2])

(1)当a∈[-2,
1
4
)
时,求f(x)的最大值;
(2)设g(x)=[f(x)-lnx]•x2,k是g(x)图象上不同两点的连线的斜率,否存在实数a,使得k≤1恒成立?若存在,求a的取值范围;若不存在,请说明理由.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:

(2009•海淀区二模)已知函数f(x)=a-2x的图象过原点,则不等式f(x)>
34
的解集为
(-∞,-2)
(-∞,-2)

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:

已知函数f(x)=a|x|的图象经过点(1,3),解不等式f(
2x
)>3

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:

已知函数f(x)=a•2x+b•3x,其中常数a,b满足a•b≠0
(1)若a•b>0,判断函数f(x)的单调性;
(2)若a=-3b,求f(x+1)>f(x)时的x的取值范围.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:

已知函数f(x)=a-2|x|+1(a≠0),定义函数F(x)=
f(x)   ,  x>0
-f(x) ,    x<0
 给出下列命题:①F(x)=|f(x)|; ②函数F(x)是奇函数;③当a<0时,若mn<0,m+n>0,总有F(m)+F(n)<0成立,其中所有正确命题的序号是
 

查看答案和解析>>

同步练习册答案