Question

已知点F（a，0）（a＞0），直线l：x=-a，点E是l上的动点，过点E垂直于y轴的直线与线段EF的垂直平分线交于点P．
（1）求点P的轨迹M的方程；
（2）若曲线M上在x轴上方的一点A的横坐标为a，过点A作两条倾斜角互补的直线，与曲线M的另一个交点分别为B、C，求证：直线BC的斜率为定值．

Answer 1

分析：（1）由垂直平分线的性质可得|PF|=|PE|，从而有点P的轨迹是以F为焦点，以直线l为准线的抛物线．根据抛物线的定义可求
（2）直线AB的斜率为k（k≠0），点B（x₁，y₁），C（x₂，y₂），A（a，2a）．则直线AB的方程为y-2a=k（x-a）.

y-2a=k(x-a) y2=4ax.

消去x，得ky²-4ay+4a²（2-k）=0．由y₁，2a是方程的两个根，可求y1=

2a(2-k)

k

，同理可得y2=-

2a(2+k)

k

，代入斜率公式可求

解答：解：（1）连接PF．∵点P在线段EF的垂直平分线上，
∴|PF|=|PE|．∴点P的轨迹是以F为焦点，以直线l为准线的抛物线．
∴p=2a．∴点P的轨迹为M：y²=4ax（a＞0）．
（2）直线AB的斜率为k（k≠0），点B（x₁，y₁），C（x₂，y₂），A（a，2a）．
则直线AB的方程为y-2a=k（x-a）.

y-2a=k(x-a) y2=4ax.

消去x，得ky²-4ay+4a²（2-k）=0．
△=16a²（k-1）²≥0
∵y₁，2a是方程的两个根，
∴2ay1=

4a2(2-k)

k

．，∴y1=

2a(2-k)

k

．
依题意，直线AC的斜率为-k．
同理可得y2=-

2a(2+k)

k

．
∴y1+y2=

2a(2-k)

k

+

-2a(2+k)

k

=-4a．
∴kBC=

y2-y1

x2-x1

=

y2-y1

y 2 2 4a - y 2 1 4a

=

4a

y1+y2

=-1
所以直线BC的斜率为定值．

点评：本题主要考查了抛物线的定义，解决（1）的关键是要熟练应用线段垂直平分线的性质进行转化；（2）主要考查了处理直线与抛物线的位置关系，处理的思路是联立方程，通过方程进行求解．