Question

设f（x）=2x³+ax²+bx+1的导数为f′（x），若函数y=f′（x）的图象关于直线x=-

1

2

对称，且f′（1）=0
（Ⅰ）求实数a，b的值
（Ⅱ）求函数f（x）的极值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先对f（x）求导，f（x）的导数为二次函数，由对称性可求得a，再由f′（1）=0即可求出b
（Ⅱ）对f（x）求导，分别令f′（x）大于0和小于0，即可解出f（x）的单调区间，继而确定极值．

解答：解：（Ⅰ）因f（x）=2x³+ax²+bx+1，故f′（x）=6x²+2ax+b
从而f′（x）=6(x+

a

6

)2+b-

a2

6

，即y=f′（x）关于直线x=-

a

6

对称，
从而由条件可知-

a

6

=-

1

2

，解得a=3
又由于f′（x）=0，即6+2a+b=0，解得b=-12
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（x）=2x³+3x²-12x+1
f′（x）=6x²+6x-12=6（x-1）（x+2）
令f′（x）=0，得x=1或x=-2
当x∈（-∞，-2）时，f′（x）＞0，f（x）在（-∞，-2）上是增函数；
当x∈（-2，1）时，f′（x）＜0，f（x）在（-2，1）上是减函数；
当x∈（1，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）在（1，+∞）上是增函数．
从而f（x）在x=-2处取到极大值f（-2）=21，在x=1处取到极小值f（1）=-6．

点评：本题考查函数的对称性、函数的单调区间和极值，考查运算能力．