Question

16．若$f（x）=\frac{1}{{{2^x}-1}}+a$是奇函数，且函数$g（x）={log_a}[m{x^2}-（m+5）x+12]$在[1，3]上为增函数，则m的取值范围是$\frac{1}{2}$＜m≤1．

Answer 1

分析 根据函数f（x）是奇函数，求出a的值，然后结合复合函数单调性的关系进行判断求解即可．

解答 解：∵$f（x）=\frac{1}{{{2^x}-1}}+a$是奇函数，
∴f（-x）=-f（x），
即$\frac{1}{{2}^{-x}-1}$+a=-$\frac{1}{{2}^{x}-1}$-a，
即$\frac{{2}^{x}}{1-{2}^{x}}$+a=-$\frac{1}{{2}^{x}-1}$-a，
即2a=-$\frac{1}{{2}^{x}-1}$-$\frac{{2}^{x}}{1-{2}^{x}}$=$\frac{1}{1-{2}^{x}}$-$\frac{{2}^{x}}{1-{2}^{x}}$=$\frac{1-{2}^{x}}{1-{2}^{x}}$=1，
则a=$\frac{1}{2}$，
则g（x）=log${\;}_{\frac{1}{2}}$[mx²-（m+5）x+12]，
设t=h（x）=mx²-（m+5）x+12，则y=log${\;}_{\frac{1}{2}}$t为减函数，
若g（x）=log${\;}_{\frac{1}{2}}$[mx²-（m+5）x+12]在[1，3]上为增函数，
则t=h（x）=mx²-（m+5）x+12在[1，3]上为减函数，且h（3）＞0，
若m=0，则t=h（x）=-5x+12在[1，3]上为减函数，且h（3）=-15+12=-3＞0不成立，不满足条件．，
若m＞0，则满足条件$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{-（m+5）}{2m}=\frac{m+5}{2m}≥3}\\{9m-3（m+5）+12=6m-3＞0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{m≤1}\\{m＞\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，解得$\frac{1}{2}$＜m≤1，
若m＜0，则满足条件$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{-（m+5）}{2m}=\frac{m+5}{2m}≤1}\\{9m-3（m+5）+12=6m-3＞0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{m≤5}\\{m＞\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，解得$\frac{1}{2}$＜m≤5，
∵m＜0，∴此时不等式无解，
综上$\frac{1}{2}$＜m≤1，
故答案为：$\frac{1}{2}$＜m≤1

点评 本题主要考查复合函数单调性的应用，利用函数奇偶性的定义求出a，以及利用换元法结合复合函数单调性之间的关系是解决本题的关键．