Question

已知O为坐标原点，M(cosx，2

3

)，N(2cosx，sinxcosx+

3

6

a)其中x∈R，a为常数，设函数f(x)=

OM

•

ON

．
（1）求函数y=f（x）的表达式；
（2）若角C∈[

π

3

，π)且y=f（C）的最小值为0，求a的值；
（3）在（2）的条件下，试画出y=f（x）（x∈[0，π]）的简图．

Answer 1

分析：（1）利用向量的坐标运算与辅助角公式可得y=f（x）=2sin（2x+

π

6

）+a+1；
（2）由

π

3

≤C＜π，可得2C+

π

6

∈[

5π

6

，

13π

6

]，依题意得，2×（-1）+a+1=0，从而可求得a；
（3）当x∈[0，π]时，作出函数y=2sin（2x+

π

6

）+2图象即可．

解答：解：（1）y=f（x）=2cos²x+2

3

（sinxcosx+

3

6

a）
=cos2x+

3

sin2x+1+a
=2sin（2x+

π

6

）+a+1
（2）∵

π

3

≤C＜π，故2C+

π

6

∈[

5π

6

，

13π

6

]，
∴y=f（C）=2sin（2C+

π

6

）+a+1的最小值为：2×（-1）+a+1=0，
∴a=1．
（3）由（2）可知：y=2sin（2x+

π

6

）+2，
∵0≤x≤π，
∴

π

6

≤2x+

π

6

≤

13π

6

，0≤y≤4．图象如下：

点评：本题考查平面向量数量积的运算，并以平面向量数量积为载体考查三角函数的化简求值，考查正弦函数的图象与性质，突出考查作图能力，属于中档题．