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已知函数的定义域为(0,+∞),且单调递增,满足f(4)=1,f(xy)=f(x)+f(y).
(Ⅰ)证明:f(1)=0;
(Ⅱ)若f(x)+f(x-3)≤1,求x的取值范围.
分析:(Ⅰ)令x=y=1即证f(1)=0;
(Ⅱ)依题意,可求f(x(x-3))<f(4),利用函数的定义域为(0,+∞),且单调递增,即可求得x的取值范围.
解答:解:(Ⅰ)令x=y=1,则f(1×1)=f(1)+f(1),
∴f(1)=0;
(Ⅱ)∵f(4)=1,f(xy)=f(x)+f(y),
∴f(x)+f(x-3)≤1=f(4)?f(x(x-3))≤f(4),
∵函数的定义域为(0,+∞),且单调递增,
x>0
x-3>0
x(x-3)≤4
,解得3<x≤4,
∴x的取值范围为(3,4].
点评:本题考查抽象函数及其应用,着重考查赋值法即函数单调性的性质,考查解不等式组的能力,属于中档题.
练习册系列答案
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已知函数的定义域为R,对任意的x1,x2都满足f(x1+x2)=f(x1)+f(x2),当x>0时,f(x)>0.
(I)试判断并证明f(x)的奇偶性;
(II)试判断并证明f(x)的单调性;
(III)若f(cos2θ-3)+f(4m-2mcosθ)>0对所有的θ∈[0,
π2
]
均成立,求实数m 的取值范围.

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(1)求

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0

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其中真命题的个数是(           )

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    A.    B.  C.    D.

 

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