Question

（2010•宿州三模）在数列{a_n}中，已知a_n+1+a_n-1=2a_n（n∈N₊，n≥2），若平面上的三个不共线的非零向量

OA

、

OB

、

OC

，满足

OC

=a1005

OA

+a1006

OB

，三点A、B、C共线，且直线不过O点，则S₂₀₁₀等于（　　）

A．1005

B．1006

C．2010

D．2011

Answer 1

分析：由a_n+1=a_n+a（n∈N^*，a为常数），知数列{a_n}是等差数列，由

OC

=a1005

OA

+a1006

OB

，且A、B、C共线，知a₁+a₂₀₁₀=1，再由等差数列的前n项和公式能够求出S₂₀₁₀．

解答：解：在数列{a_n}中，已知a_n+1+a_n-1=2a_n（n∈N₊，n≥2），∴数列{a_n}是等差数列．
三点A、B、C共线的充要条件是，对平面内任意一点O，都有

OC

=m 

OA

+(1-m)

OB

．
∵

OC

=a1005

OA

+a1006

OB

，∴a₁₀₀₅+a₁₀₀₆=1，∴a₁+a₂₀₁₀=1，则S₂₀₁₀ =

2010×(a1+a2010)

2

=1005．
故选：A．

点评：本题考查向量和数列的综合运用，解题时要认真审题，注意A、B、C三点共线的充要条件是：对平面内任意一点O，都有

OC

=m 

OA

+(1-m)

OB

，解题的关键是由

OC

=a1005

OA

+a1006

OB

，且A、B、C共线，知a₁+a₂₀₁₀=1．