Question

如图，已知直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC=BC=2，M，N分别是棱CC₁，AB的中点．
（Ⅰ）求证：平面MCN⊥平面ABB₁A₁；
（Ⅱ）求证：CN∥平面AMB₁．

Answer 1

分析：（I）在△ABC中，由“三线合一”可证出AB⊥CN，再根据直三棱柱的性质结合线面垂直的定义，可得AA₁⊥CN，从而得到CN⊥平面ABB₁A₁，结合面面垂直的判定定理，可证出平面MCN⊥平面ABB₁A₁；
（II）取AB₁中点G，连接GM、GN．利用三角形中位线定理，结合平行四边形BCC₁B₁中，CM∥BB₁且CM=

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2

BB₁，从而得到四边形CMGN是平行四边形，所以GM∥CN，最后用线面平行的判定定理，即可证出CN∥平面AMB₁．

解答：解：（I）∵AA₁⊥平面ABC，CN⊆平面ABC，∴AA₁⊥CN
∵△ABC中，AC=BC，N为AB的中点，∴AB⊥CN
∵AA₁、AB是平面ABB₁A₁内的相交直线
∴CN⊥平面ABB₁A₁
∵CN⊆平面MCN，
∴平面MCN⊥平面ABB₁A₁；
（Ⅱ）取AB₁中点G，连接GM、GN
∵△AB₁B中，G、N分别是AB₁、AB的中点
∴GN∥BB₁，且GN=

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2

BB₁，
又∵平行四边形BCC₁B₁中，M为CC₁中点
∴CM∥BB₁，且CM=

1

2

BB₁，
∴GN∥CM且GN=CM，可得四边形CMGN是平行四边形
∴GM∥CN
∵GM⊆平面AMB₁，CN?平面AMB₁
∴CN∥平面AMB₁．

点评：本题以底面为等腰三角形的直三棱柱，求证面面垂直并且证明线面平行，着重考查了线面垂直、面面垂直和判定与性质和线面平行的判定定理等知识，属于基础题．