Question

存在区间M[a，b]（a＜b），使得{y|y=f（x），x∈M}=M，则称区间M为函数f（x）的一个“稳定区间”．给出下列5个函数：
①f（x）=-x+1； ②f（x）=e^x；③f（x）=x³；④f（x）=cos

π

2

x；⑤f（x）=lnx+1．
其中存在“稳定区间”的函数有

①③④

．（把所有正确的序号都填上）

Answer 1

分析：因为由题意可知，定义域和值域相同的区间为稳定区间，那么根据函数的性质可知①f（x）=-x+1，③f（x）=x³，④f(x)=cos(

π

2

x)，都可以找到稳定区间[0，1]．
而②f（x）=e^x和⑤f（x）=lnx+1 没有满足条件的区间．

解答：解：①假设函数f（x）=-x+1存在一个“稳定区间”[a，b]（a＜b），由函数f（x）在实数集R上单调递减，∴必有f（a）=b，f（b）=a．得-a+1=b，即a+b=1，令a=0，则b=1，经验证区间[0，1]是函数f（x）的一个“稳定区间”；
③假设函数f（x）=x³存在一个“稳定区间”[a，b]（a＜b），由函数f（x）在实数集R上单调递增，∴必有f（a）=a，即a³=a，解得a=0，±1，则区间[-1，0]，[0，1]，[-1，1]都是函数f（x）的一个“稳定区间”；
④：同理可以验证区间[0，1]是④的一个“稳定区间”；
而②f（x）=e^x和⑤f（x）=lnx+1 没有满足条件的区间．
故答案为①③④．

点评：充分理解定义域和值域相同的区间为稳定区间是解题的关键．