【题目】2018年是中国改革开放的第40周年,为了充分认识新形势下改革开放的时代性,某地的民调机构随机选取了该地的100名市民进行调查,将他们的年龄分成6段:,并绘制了如图所示的频率分布直方图.
(1)现从年龄在内的人员中按分层抽样的方法抽取8人,再从这8人中随机抽取3人进行座谈,用表示年龄在内的人数,求的分布列和数学期望;
(2)若用样本的频率代替概率,用随机抽样的方法从该地抽取20名市民进行调查,其中有名市民的年龄在的概率为.当最大时,求的值.
【答案】(1)分布列见解析;;(2)7.
【解析】
(1)根据分层抽样的方法判断出年龄在内的人数,可得的可能取值为0,1,2,结合组合知识,利用古典概型概率公式求出各随机变量对应的概率,从而可得分布列,进而利用期望公式可得的数学期望;(2)设年龄在内的人数为,则,设,可得若,则,;若,则,,从而可得结果.
(1)按分层抽样的方法抽取的8人中,
年龄在内的人数为人,
年龄在内的人数为人,
年龄在内的人数为人.
所以的可能取值为0,1,2,
所以,
,
,
所以的分布列为
0 | 1 | 2 | |
.
(2)设在抽取的20名市民中,年龄在内的人数为,服从二项分布.由频率分布直方图可知,年龄在内的频率为,
所以,
所以 .
设 ,
若,则,;
若,则,.
所以当时,最大,即当最大时,.
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【题目】已知抛物线的焦点为,过抛物线上一点作抛物线的切线交轴于点,交轴于点,当时,.
(1)判断的形状,并求抛物线的方程;
(2)若两点在抛物线上,且满足,其中点,若抛物线上存在异于的点,使得经过三点的圆和抛物线在点处有相同的切线,求点的坐标.
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【题目】(本题14分)下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量(吨)与相应的生产能耗(吨)标准煤的几组对照数据:
3 | 4 | 5 | 6 | |
2.5 | 3 | 4 | 4.5 |
(1)请画出上表数据的散点图;并指出x,y 是否线性相关;
(2)请根据上表提供的数据,用最小二乘法求出关于的线性回归方程;
(3)已知该厂技术改造前100吨甲产品能耗为90吨标准煤,试根据(2)求出的线性回归方程,预测生产100吨甲产品的生产能耗比技术改造前降低多少吨标准煤?
(参考:用最小二乘法求线性回归方程系数公式,)
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【题目】过点作已知直线的平行线,交双曲线于点.
(1)证明:Q是线段MN的中点;
(2)分别过点M、N作双曲线的切线,证明:三条直线相交于同一点;
(3)设为直线上一动点,过作双曲线的切线,切点分别为,证明:点Q在直线AB上.
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【题目】为了检验两种不同的课堂教学模式对学生的成绩是否有影响,现从高二年级的甲(实行的“问题——探究式”)、乙(实行的“自学——指导式”)两个班中每班任意抽取20名学生进行测试,他们的成绩(总分150分)分布茎叶图如图所示(以十位百位为茎,个位为叶):
(1)若从参与测试的学生试卷中挑选2份卷面分数为90~100分的试着进行卷面分析,求抽取的2份试卷恰好每班1份的概率?
(2)记成绩在120分以上(包括120分)为优秀,其他的成绩为一般,请完成下面列联表,并分析是否有足够的把握(90%以上)认为这两种课堂教学模式对学生的成绩有影响?
成绩 班级 | 优秀人数 | 一般人数 | 总计 |
甲班 | |||
乙班 | |||
总计 |
附:
0.50 | 0.40 | 0.25 | 0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 | |
0.455 | 0.708 | 1.323 | 2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
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【题目】已知数列各项均为正数,Sn是数列的前n项的和,对任意的,都有.数列各项都是正整数,,且数列是等比数列.
(1) 证明:数列是等差数列;
(2) 求数列的通项公式;
(3)求满足的最小正整数n.
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