Question

已知函数f(x)=x³-x²+bx+c.

(1)若f(x)在（-∞，+∞）上是增函数，求b的取值范围;

(2)若f(x)在x=1处取得极值，且x∈［-1,2］时，f(x)＜c²恒成立，求c的取值范围.

 

Answer 1

【答案】

（1）当x=时，g(x)_max=,∴b≥.

(2) c的取值范围为（-∞，-1）∪（2，+∞）.

【解析】

试题分析：（1）解 （1）f′(x)=3x²-x+b,因f(x)在（-∞，+∞）上是增函数，则f′(x)≥0.即3x²-x+b≥0,

∴b≥x-3x²在（-∞，+∞）恒成立.设g(x)=x-3x².  当x=时，g(x)_max=,∴b≥.

(2)由题意知f′（1）=0，即3-1+b=0，∴b=-2.x∈［-1,2］时，f(x)＜c²恒成立，只需f(x)在［-1，2］上的最大值小于c²即可.

因f′(x)=3x²-x-2,令f′(x)=0,得x=1或x=-.∵f(1)=-+c,f()=+c,f(-1)=+c,f(2)=2+c.

∴f(x)_max=f(2)=2+c,∴2+c＜c².解得c＞2或c＜-1，所以c的取值范围为（-∞，-1）∪（2，+∞）.

考点：本题主要考查应用导数研究函数的单调性、最值及不等式恒成立问题。

点评：典型题，本题属于导数应用中的基本问题，通过研究函数的单调性，明确了极值情况。通过研究函数的单调区间、最值情况，得到使不等式恒成立的参数范围。不等式恒成立问题的一般解法是，通过构造函数，转化成求函数的最值。