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把正方形ABCD沿对角线AC折起,当以A,B,C,D四点为顶点的三棱锥体积最大时,直线BD和平面ABC所成的角的正弦值为
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分析:欲使得三棱锥体积最大,因为三棱锥底面积一定,只须三棱锥的高最大即可,即当平面BAC⊥平面DAC时,三棱锥体积最大,从而可得直线BD和平面ABC所成的角的正弦值.
解答:解:如图,当平面BAC⊥平面DAC时,三棱锥体积最大
取AC的中点E,则BE⊥平面DAC,
故直线BD和平面ABC所成的角为∠DBE
∵BE=ED
∴∠DBE=45°
∴sin∠DBE=
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故答案为:
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点评:本题考查空间中直线与平面之间的位置关系,考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力,属于基础题.
练习册系列答案
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科目:高中数学 来源: 题型:

把正方形ABCD沿对角线AC折起,当以A、B、C、D四点为顶点的三棱锥体积最大时,直线BD和平面ABC所成的角的大小为(  )
A、90°B、60°C、45°D、30°

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科目:高中数学 来源: 题型:

8、如图把正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角,对于下面结论:
①AC⊥BD;
②CD⊥平面ABC;
③AB与BC成60°角;
④AB与平面BCD成45°角.
则其中正确的结论的序号为
①③④

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科目:高中数学 来源: 题型:

把正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角,则AB与平面BCD所成角为
45°
45°

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科目:高中数学 来源: 题型:

(2004•黄埔区一模)把正方形ABCD沿对角线BD折叠后得到四面体ABCD,则AC与平面BCD所成角不可能是(  )

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