Question

设定义域为R的函数f(x)=

-2x+a

2x+1+b

（a，b为实数）若f（x）是奇函数．
（1）求a与b的值；
（2）判断函数f（x）的单调性，并证明；
（3）证明对任何实数x、c都有f（x）＜c²-3c+3成立．

Answer 1

分析：（1）利用奇函数的定义，建立等式，即可求a与b的值；
（2）确定函数解析式，利用导数法，可得函数的单调性；
（3）确定左、又函数的最值，即可证得结论．

解答：（1）解：∵f（x）是奇函数时，
∴f（-x）=-f（x），即

-2-x+a

2-x+1+b

=-

-2x+a

2x+1+b

对任意实数x成立．
化简整理得（2a-b）•2^2x+（2ab-4）•2^x+（2a-b）=0，这是关于x的恒等式，所以

2a-b=0 2ab-4=0

所以

a=-1 b=-2

（舍）或

a=1 b=2

（2）解：f（x）在R上单调递减，证明如下：
由（1）知f(x)=

-2x+1

2x+1+2

=-

2x-1

2x+1+2

=-

1

2

×

2x+1-2

2x+1

=-

1

2

+

1

2x+1

∴f′(x)=

-2xln2

(2x+1)2

＜0，
∴f（x）在R上单调递减；
（3）证明：f(x)=

-2x+1

2x+1+2

=-

1

2

+

1

2x+1

，
因为2^x＞0，所以2^x+1＞1，0＜

1

2x+1

＜1，从而-

1

2

＜f(x)＜

1

2

；
而c2-3c+3=(c-

3

2

)2+

3

4

≥

3

4

对任何实数c成立；
所以对任何实数x、c都有f（x）＜c²-3c+3成立．

点评：本题考查函数单调性与奇偶性的结合，考查函数的值域，考查学生的计算能力，属于中档题．