Question

已知点P₁（a₁，b₁），P₂（a₂，b₂），…，P_n（a_n，b_n）（n为正整数）都在函数y=(

1

2

)x的图象上．
（1）若数列{a_n}是首项为1，公差也为1的等差数列，求{b_n}的通项公式；
（2）对（1）中的数列{a_n}和{b_n}，过点P_n，P_n+1的直线与两坐标轴所围成的三角形面积为c_n，试证明：对一切正整数n，cn≤

9

8

；
（3）对（1）中的数列{a_n}，对每个正整数k，在a_k与a_k+1之间插入3^k-1个3，得到一个新的数列{d_n}，问a₅是数列{d_n}中的第几项．若设S_n是数列{d_n}的前n项和，试求S₁₀₀的值．

Answer 1

分析：（1）根据题中已知条件以及等差数列的基本性质，先求出b_n的通项公式，然后证明为常数即可证明；
（2）先求出直线P_nP_n+1的方程，然后求出它与x轴，y轴分别交于点A_n（n+2，0），Bn(0，

n+2

2n+1

)，表示出所围成的三角形面积为c_n，最后利用作差法判定数列{c_n}的单调性，从而求出c_n范围；
（3）从第一项a₁=1开始到a₅=5为止，共插入了3⁰+3¹+3²+3³=40个3，从而确定a₅=5是数列{d_n}中的第45项，在数列{d_n}中，a₅=5到a₆=6中间插入了3⁴=81个3，则S₁₀₀=S₄₅+55×3，从而求出所求．

解答：（本题满分（18分），第1题（4分），第2题（6分），第3题8分）
解：（1）由已知，a_n=n，所以，bn=(

1

2

)n（n为正整数）．…（4分）
（2）因a_n=n，bn=(

1

2

)n，∴Pn(n，(

1

2

)n)，Pn+1(n+1，(

1

2

)n+1)，…（5分）kPnPn+1=

( 1 2 )n+1-( 1 2 )n

(n+1)-n

=-(

1

2

)n+1，直线P_nP_n+1的方程为y-(

1

2

)n=-(

1

2

)n+1(x-n)，…（6分），
它与x轴，y轴分别交于点A_n（n+2，0），Bn(0，

n+2

2n+1

)，
∴cn=

1

2

•|OAn|•|OBn|=

(n+2)2

2n+2

，…（8分）cn-cn+1=

(n+2)2

2n+2

-

(n+3)2

2n+3

=

n2+2n-1

2n+3

＞0，
∴数列{c_n}随着n的增大而减小 …（9分）
∴cn≤c1=

9

8

．…（10分）
（3）∵a_n=n，∴数列{d_n}中，从第一项a₁=1开始到a₅=5为止，
共插入了3⁰+3¹+3²+3³=40个3，∴a₅=5是数列{d_n}中的第45项…（14分）
在数列{d_n}中，a₅=5到a₆=6中间插入了3⁴=81个3
∴S₁₀₀=S₄₅+55×3=（1+2+3+4+5）+40×3+55×3=300．…（18分）

点评：本题考查了等差数列和等比数列的基本性质以及函数的综合应用，考查了学生的计算能力和对数列的综合掌握，解题时注意整体思想和转化思想的运用，属于中档题．