Question

如图，长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AD=2，AB=4，AA₁=2

6

，点E是AB的中点，点F是AA₁的中点．　
（1）求证：EF∥CD₁；
（2）求异面直线D₁F与BD所成的角的大小．

Answer 1

分析：（1）连结A₁B，利用长方体的性质证出四边形BCD₁A₁是平行四边形，可得CD₁∥A₁B，△A₁BA中利用中位线定理，得到A₁B∥EF，从而证出EF∥CD₁；
（2）连结B₁D₁、B₁F，可得四边形BB₁D₁D是平行四边形，从而∠B₁D₁F（或其补角）就是异面直线D₁F与BD所成的角．△B₁D₁F中算出各条边的长度，再利用余弦定理算出cos∠B₁D₁F=

5

4

，即得异面直线D₁F与BD所成的角的大小．

解答：解：（1）连结A₁B，
∵长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，BC

∥

.

A₁D₁，
∴四边形BCD₁A₁是平行四边形，可得CD₁∥A₁B
∵△A₁BA中，EF是中位线，
∴A₁B∥EF，可得EF∥CD₁；
（2）连结B₁D₁、B₁F
∵四边形BB₁D₁D是平行四边形
∴BD∥B₁D₁，
可得∠B₁D₁F（或其补角）就是异面直线D₁F与BD所成的角
∵△B₁D₁F中，D₁F=

FA12+A1D12

=

10

B₁F=

A1B12+FA12

=

22

，B₁D₁=4

2

∴cos∠B₁D₁F=

B 1D12+D1F2-B1F2

2B1D1•D1F

=

5

4

即异面直线D₁F与BD所成的角的大小为arccos

5

4

．

点评：本题在长方体中求证线线平行，并求异面直线所成角大小．着重考查了长方体的性质、异面直线所成角的定义与求法等知识，属于中档题．