Question

已知函数f（x）=ax2+bx+c（a≠0），且方程f（x）=x无实数根，下列命题：①f[f（x）]=x也一定没有实数根；②若a＜0，则必存在实数x₀，使f[f（x）]＞x₀；③若a＞0，则不等式f[f（x）]＞x对一切实数x都成立；④若a+b+c=0，则不等式f[f（x）]＜x对一切实数x都成立；
以上说法中正确的是：

①③④

．（把你认为正确的命题的所有序号都填上）．

Answer 1

分析：由函数f（x）=ax2+bx+c（a≠0），且方程f（x）=x无实数根，可知：
①f[f（x）]=x也一定没有实数根；正确；
②若a＜0，函数f（x）=ax2+bx+c（a≠0）的图象必在y=x的下方，必有f[f（x₀）]＜x₀，故②错误；
同理可分析③正确；
由a+b+c=0，可得f（1）=0，结合题意可知④正确．

解答：解：由函数f（x）=ax2+bx+c（a≠0），且方程f（x）=x无实数根，可知：
①f[f（x）]=x也一定没有实数根；正确；
②若a＜0，函数f（x）=ax2+bx+c（a≠0）的图象必在y=x的下方，必有f[f（x₀）]＜x₀，故②错误；
③若a＞0，函数f（x）=ax2+bx+c（a≠0）的图象必在y=x的上方，不等式f[f（x）]＞x对一切实数x都成立；正确；
④同理可分析③正确；
由a+b+c=0，可得f（1）=0，结合题意可知a＜0，函数f（x）=ax2+bx+c（a≠0）的图象必在y=x的下方，④正确．
故答案为：①③④．

点评：本题考查二次函数的性质，难点在于对函数的图象与性质的正确理解与应用，属于难题．