Question

某地政府为科技兴市，欲在如图所示的矩形ABCD的非农业用地中规划出一个高科技工业园区（如图中阴影部分），形状为直角梯形QPRE（线段EQ和RP为两个底边），已知AB=2km，BC=6km，AE=BF=4km其中曲线段AF是以A为顶点、AD为对称轴的抛物线的一部分．分别以直线AB，AD为x轴和y轴建立平面直角坐标系．
（1）求曲线段AF所在抛物线的方程；
（2）设点P的横坐标为x，高科技工业园区的面积为S．试求S关于x的函数表达式，并求出工业园区面积S的最大值．

Answer 1

解：（1）设抛物线方程：y=ax²（a＞0），
由F（2，4）代入得a=1，
所以抛物线方程为y=x²
（2）设P（x，x²），Q（0，x²）
直线CE方程：y=x+4，
所以R（x，x+4）PQ=x，QE=4﹣x²，PR=x+4﹣x²
面积，
定义域：x∈（0，2），
求导S'=﹣3x²+x+4=﹣（3x﹣4）（x+1），
又x∈（0，2），
由S'=0得：
S'先正后负，S先增后减，
所以，时，
S取最大值．