Question

甲、乙两名篮球运动员，各自的投篮命中率分别为0.5与0.8，如果每人投篮两次．
（1）求甲比乙少投进一次的概率；
（2）若投进一个球得2分，未投进得0分，求两人得分之和ξ的期望Eξ．

Answer 1

分析：（1）记“甲投篮1次投进”为事件A，“乙投篮1次投进”为事件B，“每人投篮两次，甲比乙少投进一次”为事件C，则事件C包括甲两次中一次，乙两次全中，或甲两次一次未中，乙两次中一次．由题意可得事件A，B是相互独立事件，进而根据相互独立事件的概率乘法公式及互斥事件的加法公式求出答案．
（2）随机变量ξ表示两人得分之和，可能取值为0，2，4，6，8．根据二项分别的概率和期望公式可得到答案．

解答：解：（1）记“甲投篮1次投进”为事件A，“乙投篮1次投进”为事件B，“每人投篮两次，甲比乙少投进一次”为事件C，则事件C包括两种情况：
①甲两次中一次，乙两次全中，其概率为P₁=C

1 2

1

2

×

1

2

•C

2 2

（

4

5

）²=

8

25

，
②甲两次一次未中，乙两次中一次，其概率为P₂=C

0 2

1

2

×

1

2

•C

1 2

4

5

×

1

5

=

2

25

；
所以所求概率P=P₁+P₂=

8

25

+

2

25

=

2

5

；
（2）两人得分之和ξ可能取值为0，2，4，6，8．
则当ξ=0时，表示每人投篮两次都未中，其概率为P（ξ=0）=C

0 2

(

1

2

)2•C

0 2

(

1

5

)2=

1

100

，
当ξ=2时，表示每人投篮两次，恰有一人两次中一次，
其概率为P（ξ=2）=C

1 2

(

1

2

)2•C

0 2

(

1

5

)2+C

0 2

(

1

2

)2•C

1 2

1

5

 ×

4

5

=

1

10

，
同样地，P（ξ=4）=C

1 2

(

1

2

)2•C

1 2

1

5

 ×

4

5

+C

0 2

(

1

2

)2•C

2 2

(

4

5

)2+C

2 2

(

1

2

)2•C

0 2

(

1

5

)2=

33

100

P（ξ=6）=C

2 2

(

1

2

)2•C

1 2

1

5

 ×

4

5

+C

1 2

(

1

2

)2•C

2 2

(

4

5

)2=

2

5

P（ξ=8）=

4

25

数学期望Eξ=0×

1

100

+2×

1

10

+4×

33

100

+6×

2

5

+8×

4

25

=5.2．

点评：本题以投篮为素材，考查相互独立事件的定义与计算公式，考查二项分布．解决此题的关键是首先明确事件之间的关系，即是独立关系还是相互独立关系，进而选择正确的公式进行解题．