Question

已知△ABC三边a，b，c的长都是整数，且a≤b≤c，如果b=25，则符合条件的三角形共有（ ）个．
A．124
B．225
C．300
D．325

Answer 1

【答案】分析：根据题意，a可取的值为1、2、3、…25，由三角形的三边关系，有25≤c＜25+a，对a分情况讨论，分析可得c可取的情况，即可得这种情况下符合条件的三角形的个数，由分类计数原理，结合等差数列的前n项和公式，计算可得答案．
解答：解：根据题意，a可取的值为1、2、3、…25，
根据三角形的三边关系，有25≤c＜25+a，
当a=1时，有25≤c＜26，则c=25，有1种情况，
当a=2时，有25≤c＜27，则c=25、26，有2种情况，
当a=3时，有25≤c＜28，则c=25、26、27，有3种情况，
当a=4时，有25≤c＜29，则c=25、26、27、28，有4种情况，
…
当a=25时，有有25≤c＜50，则c=25、26、27、28…49，有25种情况，
则符合条件的三角形共有1+2+3+4+…+25==325；
故选D．
点评：本题考查合情推理与分类计数原理的运用，涉及三角形三边的关系，关键是发现a变化时，符合条件的三角形个数的变化规律．