Question

已知函数f（x）=

3 x

a

+

3 (a-1)

x

，a≠0且a≠1．
（1）试就实数a的不同取值，写出该函数的单调增区间；
（2）已知当x＞0时，函数在（0，

6

）上单调递减，在（

6

，+∞）上单调递增，求a的值并写出函数的解析式；
（3）记（2）中的函数图象为曲线C，试问是否存在经过原点的直线l，使得l为曲线C的对称轴？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）f（x）=

3 x

a

+

3 (a-1)

x

=

3

(

x

a

+

a-1

x

)，故需对a分①当a＜0②当0＜a＜1③当a＞1三种情况讨论函数的单调增区间
（2）由题设及（1）中③知

a(a-1)

=

6

，且a＞1，可求a的值，从而可得函数解析式
（3）假设存在经过原点的直线l为曲线C的对称轴，根据题意故可设l：y=kx（k≠0）．
设P′（p′，q′）与P（p，q）关于直线l对称，且p≠p′，q≠q′，则P′在曲线C上，得

q+q/

2

=k•

p+p/

2

，

q-q/

p-p/

=-

1

k

，且q=

p

3

+

2 3

p

，q′=

p/

3

+

2 3

p/

，整理可求k

解答：解：（1）①当a＜0时，函数f（x）的单调增区间为（-

a(a-1)

，0），（0，

a(a-1)

）；
②当0＜a＜1时，函数f（x）的单调增区间为（-∞，0），（0，+∞）；
③当a＞1时，函数f（x）的单调增区间为（-∞，-

a(a-1)

），（

a(a-1)

，+∞）．
（2）由题设及（1）中③知

a(a-1)

=

6

，且a＞1，解得a=3，因此函数解析式为f（x）=

3 x

3

+

2 3

x

（ x≠0）．
（3）假设存在经过原点的直线l为曲线C的对称轴，显然x，y轴不是曲线C的对称轴，故可设l：y=kx（k≠0）．
设P（p，q）为曲线C上的任意一点，P′（p′，q′）与P（p，q）关于直线l对称，且p≠p′，q≠q′，
则P′也在曲线C上，由此得

q+q/

2

=k•

p+p/

2

，

q-q/

p-p/

=-

1

k

，
且q=

p

3

+

2 3

p

，q′=

p/

3

+

2 3

p/

，整理得k-

1

k

=

2

3

，解得k=

3

或k=-

3

3

．
所以存在经过原点的直线y=

3

x及y=-

3

3

x为曲线C的对称轴．

点评：本题目主要考查了利用函数的性质求解函数的单调区间、函数的解析式，利用函数的对称性求解直线的方程的知识的综合应用．