Question

我们把在平面内与直线垂直的非零向量称为直线的法向量，在平面直角坐标系xOy中，利用求动点轨迹方程的方法，可以求出过点A（-3，4），且其法向量为

n

=(1，-2)的直线方程为1x（x+3）+（-2）×（y-4）=0，化简得x-2y+11=0．类比上述方法，在空间坐标系O-xyz中，经过点A（1，2，3），且其法向量为

n

=(-1，-2，1)的平面方程为

 

．

Answer 1

分析：类比求曲线方程的方法，我们可以用坐标法，求空间坐标系中平面的方程．任取平面内一点P（x，y，z），则根据

PA

⊥

n

，即

PA

•

n

=0，将A点坐标及

n

的坐标代入易得平面的方程．

解答：解：根据法向量的定义，若

n

为平面α的法向量
则

n

⊥α，任取平面α内一点P（x，y，z），
则

PA

⊥

n

∵PA=（1-x，2-y，3-z），

n

=(-1，-2，1)
∴（x-1）+2（y-2）+（3-z）=0
即：x+2y-z-2=0
故答案为：x+2y-z-2=0

点评：类比推理的一般步骤是：（1）找出两类事物之间的相似性或一致性；（2）用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题（猜想）．由于平面向量与空间向量的运算性质相似，故我们可以利用求平面曲线方程的办法，构造向量，利用向量的性质解决空间内平面方程的求解．