【题目】已知函数f(x)= ,若函数y=f(f(x)﹣a)﹣1有三个零点,则a的取值范围是_____.
【答案】
【解析】当x<0时,由f(x)﹣1=0得x2+2x+1=1,得x=﹣2或x=0,
当x≥0时,由f(x)﹣1=0得,得x=0,
由,y=f(f(x)﹣a)﹣1=0得f(x)﹣a=0或f(x)﹣a=﹣2,
即f(x)=a,f(x)=a﹣2,
作出函数f(x)的图象如图:
y=≥1(x≥0),
y′=,当x∈(0,1)时,y′>0,函数是增函数,x∈(1,+∞)时,y′<0,函数是减函数,
x=1时,函数取得最大值: ,
当1<a﹣2时,即a∈(3,3+)时,y=f(f(x)﹣a)﹣1有4个零点,
当a﹣2=1+时,即a=3+时则y=f(f(x)﹣a)﹣1有三个零点,
当a>3+时,y=f(f(x)﹣a)﹣1有1个零点
当a=1+时,则y=f(f(x)﹣a)﹣1有三个零点,
当时,即a∈(1+,3)时,y=f(f(x)﹣a)﹣1有三个零点.
综上a∈,函数有3个零点.
故答案为: .
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【题目】已知函数y=x+ (a>0)在区间 上单调递减,在区间 上单调递增;函数
(1)请写出函数f(x)=x2+ (a>0)与函数g(x)=xn+ (a>0,n∈N,n≥3)在(0,+∞)的单调区间(只写结论,不证明);
(2)求函数h(x)的最值;
(3)讨论方程h2(x)﹣3mh(x)+2m2=0(0<m≤30)实根的个数.
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【题目】如图,矩形ABCD是某小区户外活动空地的平面示意图,其中AB=50米,AD=100米,现拟在直角三角形OMN内栽植草坪供儿童踢球娱乐(其中,点O为AD的中点,OM⊥ON,点M在AB上,点N在CD上),将破旧的道路AM重新铺设.已知草坪成本为每平方米20元,新道路AM成本为每米500元,设∠OMA=θ,记草坪栽植与新道路铺设所需的总费用为f(θ).
(1)求f(θ)关于θ函数关系式,并写出定义域;
(2)为节约投入成本,当tanθ为何值时,总费用 f(θ)最小?
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【题目】在△ABC中,角A,B,C对应的边分别是a,b,c,已知cos2A﹣3cos(B+C)=1.
(Ⅰ)求角A的大小;
(Ⅱ)若△ABC的面积S=5 ,b=5,求sinBsinC的值.
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【题目】设函数f(x)是定义在R上的偶函数,且对任意的x∈R恒有f(x+1)=f(x-1),
已知当x∈[0,1]时f(x)=()1-x,则
①2是函数f(x)的周期;
②函数f(x)在(1,2)上是减函数,在(2,3)上是增函数;
③函数f(x)的最大值是1,最小值是0;
④当x∈(3,4)时,f(x)=()x-3.
其中所有正确命题的序号是_______.
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【题目】已知直线: ax+by=1(其中a,b是实数) 与圆:x2+y2=1(O是坐标原点)相交于A,B两点,且△AOB是直角三角形,点P(a,b)是以点M(0,1)为圆心的圆M上的任意一点,则圆M的面积最小值为 .
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【题目】已知△ABC,|AB|=8,AC与BC边所在直线的斜率之积为定值m,
(1)求动点C的轨迹方程;
(2)当m=1时,过点E(0,1)的直线l与曲线C相交于P、Q两点,求P、Q两点的中点M的轨迹方程.
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