Question

如果甲、乙两个乒乓球选手进行比赛，而且他们的水平相当，规定“7局四胜”，即先赢四局者胜，若已知甲先赢了前两局．
求：（Ⅰ）乙取胜的概率；
（Ⅱ）比赛打满七局的概率；
（Ⅲ）设比赛局数为ξ，求ξ的分布列及Eξ．

Answer 1

分析：（1）若已知甲先赢了前两局，列举乙胜的可能情况，第一种是乙连胜四局；第二种是在第3局到第6局，乙赢了3局，第7局乙赢．列出两种情况求和．
（2）比赛打满七局有两种结果：甲胜或乙胜，实际上甲胜和乙胜的概率是一样的，设出事件列出算式得结果．
（3）比赛最少要打四局，最多是七局，所以离散型随机变量的取值是4、5、6、7，写出分布列，得到期望．

解答：解：（Ⅰ）当甲先赢了前两局时，乙取胜的情况有两种：
第一种是乙连胜四局；第二种是在第3局到第6局，乙赢了3局，第7局乙赢．
在第一种情况下，乙取胜的概率为(

1

2

)4=

1

16

在第二种情况下，乙取胜的概率为

C

3 4

(

1

2

)4•

1

2

=

1

8

所以当甲先赢了前两局时，乙取胜的概率为

1

16

+

1

8

=

3

16

．

（Ⅱ）比赛打满七局有两种结果：甲胜或乙胜，记“比赛打满七局甲胜”为事件A；
记“比赛打满七局乙胜”为事件B．则P(A)=

C

1 4

(

1

2

)4(

1

2

)=

1

8

P(B)=

C

3 4

(

1

2

)4(

1

2

)=

1

8

又A，B互斥，所以比赛打满七局的概率为P(A)+P(B)=

1

4

（或第3～6局中甲甲胜1局乙胜3局，P=

C

1 4

(

1

2

)3(

1

2

)=

1

4

．

（Ⅲ）P(ξ=4)=(

1

2

)2=

1

4

P(ξ=5)=

C

1 2

(

1

2

)2(

1

2

)=

1

4

P(ξ=6)=

C

1 3

(

1

2

)3(

1

2

)+(

1

2

)4=

1

4

P(ξ=7)=

C

1 4

(

1

2

)4(

1

2

)+

C

3 4

(

1

2

)4(

1

2

)=

1

4

所以ξ的分布列为：

Eξ=（4+5+6+67）×

1

4

=5.5．

点评：本题这种类型是近几年高考题中经常出现的，考查离散型随机变量的分布列和期望，大型考试中理科考试必出的一道问题．