【题目】如图,在三棱柱ABC﹣A1B1C1中,A1A⊥平面ABC,∠ACB=90°,AC=CB=C1C=1,M,N分别是AB,A1C的中点.
(1)求证:直线MN⊥平面ACB1;
(2)求点C1到平面B1MC的距离.
【答案】(1)证明见解析.(2)
【解析】
(1)连接AC1,BC1,结合中位线定理可证MN∥BC1,再结合线面垂直的判定定理和线面垂直的性质分别求证AC⊥BC1,BC1⊥B1C,即可求证直线MN⊥平面ACB1;
(2)作交于点
,通过等体积法,设C1到平面B1CM的距离为h,则有
,结合几何关系即可求解
(1)证明:连接AC1,BC1,则N∈AC1且N为AC1的中点;
∵M是AB的中点.
所以:MN∥BC1;
∵A1A⊥平面ABC,AC平面ABC,
∴A1A⊥AC,
在三棱柱ABC﹣A1B1C1中,AA1∥CC,
∴AC⊥CC1,
∵∠ACB=90°,BC∩CC1=C,BC平面BB1C1C,CC1平面BB1C1C,
∴AC⊥平面BB1C1C,BC平面BB1C1C,
∴AC⊥BC1;又MN∥BC1
∴AC⊥MN,
∵CB=C1C=1,
∴四边形BB1C1C正方形,
∴BC1⊥B1C,∴MN⊥B1C,
而AC∩B1C=C,且AC平面ACB1,CB1平面ACB1,
∴MN⊥平面ACB1,
(2)作交于点
,设C1到平面B1CM的距离为h,
因为MP,
所以MP
,
因为CM,B1C
;
B1M,所以
所以:CMB1M
.
因为,所以
,解得
所以点,到平面
的距离为
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】某校名学生参加军事冬令营活动,活动期间各自扮演一名角色进行分组游戏,角色按级别从小到大共
种,分别为士兵、排长、连长、营长、团长、旅长、师长、军长和司令.游戏分组有两种方式,可以
人一组或者
人一组.如果
人一组,则必须角色相同;如果
人一组,则
人角色相同或者
人为级别连续的
个不同角色.已知这
名学生扮演的角色有
名士兵和
名司令,其余角色各
人,现在新加入
名学生,将这
名学生分成
组进行游戏,则新加入的学生可以扮演的角色的种数为________.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】为了响应绿色出行,某市推出了新能源分时租赁汽车,并对该市市民使用新能源租赁汽车的态度进行调查,得到有关数据如下表1:
表1
愿意使用新能源租赁汽车 | 不愿意使用新能源租赁汽车 | 总计 | |
男性 | 100 | 300 | |
女性 | 400 | ||
总计 | 400 |
其中一款新能源分时租赁汽车的每次租车费用由行驶里程和用车时间两部分构成:行驶里程按1元/公里计费;用车时间不超过30分钟时,按0.15元/分钟计费;超过30分钟时,超出部分按0.20元/分钟计费.已知张先生从家到上班地点15公里,每天上班租用该款汽车一次,每次的用车时间均在20~60分钟之间,由于堵车红绿灯等因素,每次的用车时间(分钟)是一个随机变量.张先生记录了100次的上班用车时间,并统计出在不同时间段内的频数如下表2:
表2
时间 | (20,30] | (30,40] | (40,50] | (50,60] |
频数 | 20 | 40 | 30 | 10 |
(1)请补填表1中的空缺数据,并判断是否有99.5%的把握认为该市市民对新能源租赁汽车的使用态度与性别有关;
(2)根据表2中的数据,将各时间段发生的频率视为概率,以各时间段的区间中点值代表该时间段的取值,试估计张先生租用一次该款汽车上班的平均用车时间;
附:
0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 | |
2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】如图所示,在棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,底面ABCD为直角梯形,PA=AD=DC=2,AB=4且AB∥CD,∠BAD=90°.
(1)求证:BC⊥PC;
(2)求PB与平面PAC所成角的正弦值.
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