【题目】一家商场销售一种商品，该商品一天的需求量在
范围内等可能取值，该商品的进货量也在
范围内取值（每天进货1次）.这家商场每销售一件该商品可获利60元；若供不应求，可从其他商店调拨，销售一件该商品可获利40元；若供大于求，剩余的每处理一件该商品亏损20元.设该商品每天的需求量为
，每天的进货量为
件，该商场销售该商品的日利润为
元.
（1）写出这家商场销售该商品的日利润为关于需求量的函数表达式；
（2）写出供大于求，销售件商品时，日利润的分布列；
（3）当进货量多大时，该商场销售该商品的日利润的期望值最大？并求出日利润的期望值的最大值.
【答案】（1）
；（2）分布列见解析；（3）
或
，
【解析】
（1）根据题意，该商品每天的需求量为
，进货量为
，分段求出
和
时，利润为
关于需求量的函数表达式；
（2）当供大于应求时，每种情况的概率都为
，即可求出日利润为的分布列；
（3）分别求出日利润，得出的分布列，即可求出日利润的数学期望
，根据二次函数的性质，可知或是日利润的期望值最大，即可求出期望值的最大值.
解：（1）因为该商品每天的需求量为，进货量为，
该量贩销售该商品的日利润为关于需求量的函数表达式为：
，
化简得：
，
（2）供大于应求时，日利润为的分布列：
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（3）日利润为的分布列：
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的数学期望为：
，
当
数学期望值最大，
但为自然数，经验证或，.
快乐小博士巩固与提高系列答案科目：高中数学 来源： 题型：
【题目】已知椭圆
：
(
)的离心率
，以上顶点和右焦点为直径端点的圆与直线
相切.
（1）求椭圆的标准方程.
（2）是否存在斜率为2的直线，使得当直线与椭圆有两个不同的交点
，
时，能在直线
上找到一点
，在椭圆上找到一点
，满足
？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由.
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【题目】谢尔宾斯基三角形（Sierpinskitriangle）是由波兰数学家谢尔宾斯基在1915年提出的，如图先作一个三角形，挖去一个“中心三角形”（即以原三角形各边的中点为顶点的三角形），然后在剩下的小三角形中又挖去一个“中心三角形”，我们用白色三角形代表挖去的面积，那么灰色三角形为剩下的面积（我们称灰色部分为谢尔宾斯基三角形）．若通过该种方法把一个三角形挖3次，然后在原三角形内部随机取一点，则该点取自谢尔宾斯基三角形的概率为______．
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【题目】某校在高一部分学生中调查男女同学对某项体育运动的喜好情况，其二维条形图如图（黑色代表喜好，白色代表不喜好）.
（1）写出
列联表；
（2）能否有99%的把握认为喜好这项体育运动与性别有关；
（3）在这次调查中从喜好这项体育活动的一名男生和两名女生中任选两人进行专业培训，求恰是一男一女的概率.
附：
| 0.25 | 0.010 | 0.005 | 0.001 |
| 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.83 |
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【题目】如图，已知椭圆
的左顶点
，且点
在椭圆上， 
分别是椭圆的左、右焦点。过点
作斜率为
的直线交椭圆
于另一点
，直线
交椭圆
于点
.
（1）求椭圆
的标准方程；
（2）若
为等腰三角形，求点
的坐标；
（3）若
，求
的值.
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【题目】如图1，在矩形
中，
，
，
为
的中点，
为
中点．将
沿折起到
，使得平面
平面
（如图2）．
（1）求证：
；
（2）求直线
与平面
所成角的正弦值；
（3）在线段上是否存在点
，使得
平面? 若存在，求出
的值；若不存在，请说明理由．
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【题目】2019年12月16日，公安部联合阿里巴巴推出的“钱盾反诈机器人”正式上线，当普通民众接到电信网络诈骗电话，公安部钱盾反诈预警系统预警到这一信息后，钱盾反诈机器人即自动拨打潜在受害人的电话予以提醒，来电信息显示为“公安反诈专号”.某法制自媒体通过自媒体调查民众对这一信息的了解程度，从5000多参与调查者中随机抽取200个样本进行统计，得到如下数据：男性不了解这一信息的有50人，了解这一信息的有80人，女性了解这一信息的有40人.
（1）完成下列
列联表，问：能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下，认为200个参与调查者是否了解这一信息与性别有关？
了解 | 不了解 | 合计 | |
男性 | |||
女性 | |||
合计 |
（2）该自媒体对200个样本中了解这一信息的调查者按照性别分组，用分层抽样的方法抽取6人，再从这6人中随机抽取3人给予一等奖，另外3人给予二等奖，求一等奖与二等奖获得者都有女性的概率.
附：
P(K2≥k) | 0.01 | 0.005 | 0.001 |
k | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
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