Question

已知二次函数f(x)=ax2+bx+1和g(x)=

bx-1

a2x+2b

（1）f（x）为偶函数，试判断g（x）的奇偶性；
（2）若方程g（x）=x有两个不相等的实根，当a＞0时判断f（x）在（-1，1）上的单调性；
（3）若方程g（x）=x的两实根为x₁，x₂f（x）=0的两根为x₃，x₄，求使x₃＜x₁＜x₂＜x₄成立的a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）根据函数f（x）为偶函数可得b=0，得到g（x）=

-1

a2x

，定义域为{x|x≠0}，再结合奇函数的定义可得答案．
（2）由方程g（x）=x有两个不相等的实根，可得△=b²-4a²＞0，即

b

2a

＞1或

b

2a

＜-1，再结合二次函数的性质即可判断好的f（x）的单调性．
（3）由题意可得：

a2x2+bx+1=0 ax2+bx+1=0

，设α为x₁与x₂中的一个数，则有

a2α2+bα+1=0 (α-x3)(α-x4)＜0

，即

a2α2+bα+1=0 α2+ b a α+ 1 a ＜0

，再分a＞0与a＜0两种情况讨论，进而结合等式与不等式得到关于a的不等式，进而求出a的范围得到答案．

解答：解：（1）因为f（x）为偶函数，
所以f（-x）=f（x），即b=0，
所以g(x)=

bx-1

a2x+2b

=

-1

a2x

，定义域为{x|x≠0}，
所以g（-x）=-g（x），
所以函数g（x）是奇函数．
（2）由方程g（x）=x整理可得a²x²+bx+1=0，
因为方程g（x）=x有两个不相等的实根，
所以△=b²-4a²＞0，即|

b

2a

|＞1，即

b

2a

＞1或

b

2a

＜-1，
又因为函数f（x）=ax²+bx+1的对称轴为x=-

b

2a

，并且a＞0，
所以当-

b

2a

＜ -1时，f（x）在（-1，1）上是增函数；当-

b

2a

＞1时，f（x）在（-1，1）上是减函数．
（3）由

g(x)=x f(x)=0

可得

a2x2+bx+1=0 ax2+bx+1=0

，
设α为x₁与x₂中的一个数，
则有

a2α2+bα+1=0 (α-x3)(α-x4)＜0

，
因为x₃+x₄=-

b

a

，x₃x₄=

1

a

所以有

a2α2+bα+1=0 α2+ b a α+ 1 a ＜0

．
当a＞0时有

a2α2+bα+1=0 aα2+bα+1＜0

，
所以结合两式可得（a-a²）α²＜0，
解得：a＞1或a＜0（舍去）．
当a＜0时有

a2α2+bα+1=0 aα2+bα+1＞0

，
所以所以结合两式可得（a-a²）α²＞0，
解得：0＜a＜1（舍去）．
综上可得a的取值范围为（1，+∞）．

点评：本题主要考查函数的奇偶性与函数的单调性，以及一元二次方程的根的分布与系数的关系，此题综合性比较强，考查了数学上一个重要的思想方法即分类讨论的思想方法，此题属于难题．