Question

【题目】如图，四棱锥中，底面ABCD为平行四边形，，，底面ABCD．

Ⅰ证明：；

Ⅱ求平面PAD与平面PBC所成的锐二面角的大小．

Answer 1

【答案】（1）见解析（2）

【解析】

（Ⅰ）由余弦定理得 ，从而BD⊥AD，由PD⊥底面ABCD，得BD⊥PD，从而BD⊥平面PAD，由此能证明PA⊥BD．

（Ⅱ）以D为坐标原点，AD的长为单位长，射线DA为x轴的正半轴，建立空间直角坐标系D-xyz，利用向量法能法出平面PAD与平面PBC所成的锐二面角的大小．

证明：Ⅰ因为，，

由余弦定理得，从而，故BD，

又底面ABCD，可得，所以平面故

Ⅱ如图，以D为坐标原点，AD的长为单位长，

射线DA为x轴的正半轴，建立空间直角坐标系，

则，，0，，

，，0，，

平面PAD的一个法向量为1，，设平面PBC的法向量为y，，

则，取，得1，，

，故平面PAD与平面PBC所成的锐二面角的大小为