Question

17、已知a、b、c是互不相等的非零实数．
求证：三个方程ax²+2bx+c=0，bx²+2cx+a=0，cx²+2ax+b=0至少有一个方程有两个相异实根．

Answer 1

分析：假设要证的结论的反面成立，即三个方程中都没有两个相异实根，则他们的判别式都小于0，利用不等式的性质可得
（a-b）²+（b-c）²+（c-a）²≤0，由于a、b、c互不相等，进而可得矛盾，原命题得到证明．

解答：证明：反证法：
假设三个方程中都没有两个相异实根，
则△₁=4b²-4ac≤0，△₂=4c²-4ab≤0，△₃=4a²-4bc≤0．
相加有a²-2ab+b²+b²-2bc+c²+c²-2ac+a²≤0，
（a-b）²+（b-c）²+（c-a）²≤0．①
由题意a、b、c互不相等，∴①式不能成立．
∴假设不成立，即三个方程中至少有一个方程有两个相异实根．

点评：本题考查反证法证题的方法和步骤，假设结论的反面成立，依据定义、定理和性质推出矛盾，说明假设不对，从而要证的结论成立．