Question

9．已知函数f（x）=$\frac{1}{2}$x²-alnx（a为常数且a∈R）．
（1）当a=1时求函数f（x）的单调区间；
（2）当x＞1时，若$\frac{1}{2}$x²+lnx+b＜$\frac{2}{3}$x³恒成立，求实常数b的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出函数的解析式和定义域，由求导公式和法则求出f′（x），由导数与函数单调性关系求出f（x）的单调区间；
（2）由条件分离出常数b，再构造函数g（x）=$\frac{2}{3}$x³-$\frac{1}{2}$x²-lnx，求出g′（x）后通过化简判断出符号，可得g（x）d的单调性以及值域，即可求出b的取值范围．

解答 解：（1）由题意得，f（x）=$\frac{1}{2}$x²-lnx，
则f（x）的定义域是（0，+∞），$f′（x）=x-\frac{1}{x}$=$\frac{{x}^{2}-1}{x}$，
由f′（x）=0得x=±1，
当-1＜x＜1时，f′（x）＜0，当x＜-1或x＞1时，f′（x）＞0，
所以f（x）在（-1，1）上递减，在（-∞，-1），（1，+∞）上递增；
（2）由当x＞1时$\frac{1}{2}$x²+lnx+b＜$\frac{2}{3}$x³恒成立得，
当x＞1时，b＜$\frac{2}{3}$x³-$\frac{1}{2}$x²-lnx恒成立，
设g（x）=$\frac{2}{3}$x³-$\frac{1}{2}$x²-lnx，则g′（x）=2${x}^{2}-x-\frac{1}{x}$
=$\frac{2{x}^{3}-{x}^{2}-1}{x}$=$\frac{{x}^{3}-{x}^{2}+{x}^{3}-1}{x}$=$\frac{{x}^{2}（x-1）+（x-1）（{x}^{2}+x+1）}{x}$
=$\frac{（x-1）（2{x}^{2}+x+1）}{x}$，
因为x＞1，所以x-1＞0，
又2x²+x+1=$2{（x+\frac{1}{4}）}^{2}+\frac{7}{8}$＞0，则$\frac{（x-1）（2{x}^{2}+x+1）}{x}＞$0
所以g′（x）＞0，即函数g（x）在（1，+∞）上递增，
则g（x）＞g（1）=$\frac{1}{6}$，
所以b≤$\frac{1}{6}$，故b的取值范围是（-∞，$\frac{1}{6}$]．

点评 本题考查求导公式和法则，导数与函数单调性的关系，分离常数法，以及恒成立问题的转化，属于中档题．