【题目】设函数,.
(1)若,,求函数的单调区间;
(2)若曲线在点处的切线与直线平行.
①求,的值;
②求实数的取值范围,使得对恒成立.
【答案】(1)的单调增区间为,单调减区间为(2)①②
【解析】
(1)求出函数的导数,通过解关于导函数的不等式,求出函数的单调区间即可;
(2)①求出g(x)的导数,得到关于a,b的方程组,解出即可;
②问题转化为g(x)﹣k(x2﹣x)>0对x∈(0,+∞)恒成立.令F(x)=g(x)﹣k(x2﹣x),求出函数的导数,通过讨论k的范围,求出函数的单调区间,从而确定k的范围即可.
(1)当,时,,
则.当时,;
当时,;
所以的单调增区间为,单调减区间为.
(2)①因为,
所以,依题设有,即.
解得.
②,.
对恒成立,即对恒成立.
令,则有.
当时,当时,,
所以在上单调递增.
所以,即当时,;
当时,当时,,所以在上单调递减,故当时,,即当时,不恒成立.
综上,.
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【题目】某土特产超市为预估2020年元旦期间游客购买土特产的情况,对2019年元旦期间的90位游客购买情况进行统计,得到如下人数分布表.
购买金额(元) | ||||||
人数 | 10 | 15 | 20 | 15 | 20 | 10 |
(1)根据以上数据完成列联表,并判断是否有的把握认为购买金额是否少于60元与性别有关.
不少于60元 | 少于60元 | 合计 | |
男 | 40 | ||
18 | |||
合计 |
(2)为吸引游客,该超市推出一种优惠方案,购买金额不少于60元可抽奖3次,每次中奖概率为(每次抽奖互不影响,且的值等于人数分布表中购买金额不少于60元的频率),中奖1次减5元,中奖2次减10元,中奖3次减15元.若游客甲计划购买80元的土特产,请列出实际付款数(元)的分布列并求其数学期望.
附:参考公式和数据:,.
附表:
2.072 | 2.706 | 3.841 | 6.635 | 7.879 | |
0.150 | 0.100 | 0.050 | 0.010 | 0.005 |
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【题目】下列判断正确的是( )
A.若随机变量服从正态分布,,则;
B.已知直线平面,直线平面,则“”是“”的充分不必要条件;
C.若随机变量服从二项分布:,则;
D.是的充分不必要条件.
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【题目】对于定义在区间上的函数,若同时满足:
(Ⅰ)若存在闭区间,使得任取,都有(是常数);
(Ⅱ)对于内任意,当,时总有恒成立,则称函数为“平底型”函数.
(1)判断函数和是否是“平底型”函数?简要说明理由;
(2)设是(1)中的“平底型”函数,若不等式对一切恒成立,求实数的取值范围;
(3)函数是区间上的“平底型”函数,求和满足的条件,并说明理由.
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【题目】设满足以下两个条件的有穷数列为阶“期待数列”:①;②.
(1)若等比数列为阶“期待数列”,求公比;
(2)若一个等差数列既是阶“期待数列”又是递增数列,求该数列的通项公式;
(3)记阶“期待数列” 的前项和为,求证;数列不能为阶“期待数列”.
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【题目】海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象,被喻为“地球留给人类保留宇宙秘密的最后遗产”,我国拥有世界上最深的海洋蓝洞,若要测量如图所示的蓝洞的口径,两点间的距离,现在珊瑚群岛上取两点,,测得,,,,则,两点的距离为___.
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