Question

在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=BC=1，AA₁=2，E是侧棱BB₁的中点．
（1）求证：A₁E⊥平面ADE；
（2）求三棱锥A₁-ADE的体积．

Answer 1

分析：（1）根据线面垂直的判定定理即可证明A₁E⊥平面ADE；
（2）利用锥体的体积公式求三棱锥A₁-ADE的体积．

解答：解：（1）证明：由勾股定理知，A₁E=

1+1

=

2

，AE=

1+1

=

2

，
则A₁A²=A₁E²+AE²，
∴A₁E⊥AE．
∵AD⊥平面AA₁B₁B，A₁E?平面AA₁B₁B，
∴A₁E⊥AD．
而AD∩AE=A，
∴A₁E⊥平面ADE．
（2）∵S_△AA1E=

1

2

•

2

•

2

=1，
∴V_A1-ADE=V_D-A1AE=

1

3

•S_△AA1E•AD=

1

3

×1×1=

1

3

．

点评：本题主要考查直线和平面垂直的判定，以及空间三棱锥的体积计算，要求熟练掌握空间直线和平面位置关系的判断，以及三棱锥的体积公式．