Question

若存在常数k和b，使得函数f（x）和g（x）在它们的公共定义域上的任意实数x分别满足：
f（x）≥kx+b和g（x）≤kx+b，则称直线l：y=kx+b为函数f（x）和g（x）的“隔离直线”．已知f（x）=x²，g（x）=2elnx．
（I）求F（x）=f（x）﹣g（x）的极值；
（II）函数f（x）和g（x）是否存在隔离直线？若存在，求出此隔离直线的方程，若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（1）∵F（x）=f（x）﹣g（x）=x²﹣2clnx（x＞0），
∴F′（x）=2x﹣ =（2x²﹣2c）/x= 
令F′（x）=0，得x= ，
当0＜x＜ 时，F′（x）＜0，
X＞ 时，F′（x）＞0
故当x= 时，F（x）取到极小值，极小值是0
（2）由（1）可知，函数f（x）和g（x）的图象在x= 处有公共点，
因此存在f（x）和g（x）的隔离直线，那么该直线过这个公共点，
设隔离直线的斜率为k．则隔离直线方程为y﹣e=k（x﹣ ），即y=kx﹣k +e
由f（x）≥kx﹣k +e（x∈R），可得x²﹣kx﹣k+e，
由f（x）≥kx﹣k +e（x∈R），可得x²﹣kx+k ﹣e≥0
当x∈R恒成立，则△=k²﹣4k +4e=（k﹣2 ）²≤0，只有k=2 ，
此时直线方程为：y=2 x﹣e，
下面证明g（x）≤2 x﹣e^exx＞0时恒成立
令G（x）=2x﹣e﹣g（x）=2 x﹣e﹣2elnx，
G′（x）=2 ﹣ =（2 x﹣2c）/x=2 （x﹣ ）/x，
当x= 时，G′（X）=0，
当0＜x＜ 时G′（X）＞0，
则当x= 时，G（x）取到最小值，极小值是0，也是最小值．
所以G（x）=2 x﹣e﹣g（x）≥0，则g（x）≤2 x﹣e当x＞0时恒成立．
∴函数f（x）和g（x）存在唯一的隔离直线y=2 x﹣e