【题目】在如图所示的多面体ABCDE,AB∥DE,AB⊥AD,△ACD是正三角形.AD=DE=2AB=2,EC=2,F是CD的中点.
(1)求证AF∥平面BCE;
(2)求直线AD与平面BCE所成角的正弦值.
【答案】(1)证明见解析;(2).
【解析】
(1)以A为原点,在平面ACD中,过A作AD的垂线为x轴,AD为y轴,AB为z轴,建立空间直角坐标系,求出平面BCE的法向量,再证得即可;
(2)求出,利用数量积求得夹角即可
(1)证明:以A为原点,在平面ACD中,过A作AD的垂线为x轴,AD为y轴,AB为z轴,建立空间直角坐标系,
则A(0,0,0),C(),D(0,2,0),F(
,
,0),B(0,0,1),E(0,2,2),
所以(
,
,0),
(
),
(0,2,1),
设平面BCE的法向量(x,y,z),
则,取y=1,得
(
,1,﹣2),
∵0,AF
平面BCE,
∴AF平面BCE
(2)解:(0,2,0),平面BCE的法向量
(
),
设直线AD与平面BCE所成角为,
则
∴直线AD与平面BCE所成角的正弦值为
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【题目】如图,在梯形ABCD中,AB∥CD,AD=DC=CB=1,∠BCD=120°,四边形BFED为矩形,平面BFED⊥平面ABCD,BF=1.
(1)求证:AD⊥平面BFED;
(2)点P在线段EF上运动,设平面PAB与平面ADE所成锐二面角为θ,试求θ的最小值.
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【题目】在平面直角坐标系中,已知椭圆
的左顶点为
,右焦点为
,
,
为椭圆
上两点,圆
.
(1)若轴,且满足直线
与圆
相切,求圆
的方程;
(2)若圆的半径为2,点
,
满足
,求直线
被圆
截得弦长的最大值.
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【题目】在直角坐标系中,曲线
的参数方程为
(
为参数),
为
上的动点,
点满足
,点
的轨迹为曲线
.
(1)求曲线的直角坐标方程;
(2)在以为极点,
轴的正半轴为极轴的极坐标系中,射线
与
的异于极点的交点为
,与
的异于极点的交点为
,求
.
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【题目】给定无穷数列,若无穷数列
满足:对任意的
,都有
,则称
与
“比较接近”.
(1)设是首项为1,公比为
的等比数列,
,判断数列
是否与
“比较接近”;
(2)设数列的前四项为:
,
是一个与
比较接近的数列,记集合
,求
中元素的个数
;
(3)已知是公差为
的等差数列,若存在数列
满足:
与
较接近,且在
中至少有1009个为正,求
的取值范围.
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【题目】选修4-4:坐标系与参数方程
在平面直角坐标系中,直线
的参数方程为
(
为参数),以坐标原点
为极点,以
轴正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线
的极坐标方程为
.
(1)求直线的普通方程和曲线
的直角坐标方程;
(2)若直线与曲线
相交于
两点,设点
,已知
,求实数
的值.
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【题目】已知函数f(x)是定义在(0,+∞)上的可导函数,满足f(1)=2,且,则不等式f(x)﹣e3﹣3x>1的解集为( )
A.(0,1)B.(0,e)C.(1,+∞)D.(e,+∞)
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