Question

已知函数．f（x）=

x

1+ex

+ln（1+e^x）-x．
（I）求证：0＜f（x）≤ln2；
（II）是否存在常数a使得当x＞0时，f（x）＞a恒成立？若存在，求a的取值范围，若不存在，说明理由．

Answer 1

分析：（I）求出函数f（x）=

x

1+ex

+ln（1+e^x）-x导数利用导数研究出函数的最值，求出最值即可证明本题．
（II）由（I）的证明，即可得出参数a存在，且a的取值范围易得，

解答：（I）证明：∵f（x）=

x

1+ex

+ln（1+e^x）-x．
∴f′（x）=

1+ex-xex

(1+ex)2

+

ex

1+ex

-1=

-xex

(1+ex)2

∴当x＜0，f′（x）＞0；
当x＞0，f′（x）＜0；
故函数在x＜0时是增函数，在x＞0时是减函数，其最大值是f（2）=ln2
又x＞0时，f（x）=

x

1+ex

+ln（1+e^x）-x＞

x

1+ex

+ln（e^x）-x=

x

1+ex

＞0；当x＜0时，显然有f（x）＞0
故有0＜f（x）≤ln2；
（II）解：由（I）的证明知，0＜f（x）≤ln2，故存在a≤0，使得当x＞0时，f（x）＞a恒成立．

点评：本题考查导数在最大值、最小值问题中的应用，解题的关键是根据导数与单调性的关系，以及函数最值的定义求出最值，本题中利用求出最值证明不等式，形式新颖．