【题目】已知袋子中放有大小和形状相同的小球若干,其中标号为0的小球1个,标号为1的小球1个,标号为2的小球个.若从袋子中随机抽取1个小球,取到标号为2的小球的概率是.
(Ⅰ)求的值;
(Ⅱ)从袋子中不放回地随机抽取2个小球,记第一次取出的小球标号为,第二次取出的小球标号为.求在区间内任取2个实数,,求事件“恒成立”的概率.
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【题目】已知函数,.
(Ⅰ)若为偶函数,求的值并写出的增区间;
(Ⅱ)若关于的不等式的解集为,当时,求的最小值;
(Ⅲ)对任意的,,不等式恒成立,求实数的取值范围.
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【题目】已知椭圆的右焦点F与抛物线焦点重合,且椭圆的离心率为,过轴正半轴一点 且斜率为的直线交椭圆于两点.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)是否存在实数使以线段为直径的圆经过点,若存在,求出实数的值;若不存在说明理由.
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【题目】某公司计划购买1台机器,该种机器使用三年后即被淘汰.机器有一易损零件,在购进机器时,可以额外购买这种零件作为备件,每个200元.在机器使用期间,如果备件不足再购买,则每个500元.现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件,为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数,得下面柱状图:
记x表示1台机器在三年使用期内需更换的易损零件数,y表示1台机器在购买易损零件上所需的费用(单位:元), 表示购机的同时购买的易损零件数.
(Ⅰ)若=19,求y与x的函数解析式;
(Ⅱ)若要求“需更换的易损零件数不大于”的频率不小于0.5,求的最小值;
(Ⅲ)假设这100台机器在购机的同时每台都购买19个易损零件,或每台都购买20个易损零件,分别计算这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数,以此作为决策依据,购买1台机器的同时应购买19个还是20个易损零件?
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【题目】某高校在2015年的自主招生考试成绩中随机抽取100名学生的笔试成绩,按成绩分组,得到的频率分布表如表所示.
组号 | 分组 | 频数 | 频率 |
第1组 | 5 | ||
第2组 | a | ||
第3组 | 30 | b | |
第4组 | 20 | ||
第5组 | 10 | ||
合计 | 100 |
Ⅰ求出频率分布表中a,b的值,再在答题纸上完成频率分布直方图;
Ⅱ根据样本频率分布直方图估计样本成绩的中位数;
Ⅲ高校决定在笔试成绩较高的第3,4,5组中用分层抽样抽取6名学生进入第二轮面试,再从6名学生中随机抽取2名学生由A考官进行面试,求第4组至少有一名学生被考官A面试的概率.
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【题目】如图1,在矩形ABCD中, ,点分别在边上,且, 交于点.现将沿折起,使得平面平面,得到图2.
(Ⅰ)在图2中,求证: ;
(Ⅱ)若点是线段上的一动点,问点在什么位置时,二面角的余弦值为.
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