Question

【题目】设数列A： ， ,… ().如果对小于()的每个正整数都有 ＜ ，则称是数列A的一个“G时刻”.记“是数列A的所有“G时刻”组成的集合.

（1）对数列A：-2，2，-1，1，3，写出的所有元素；

（2）证明：若数列A中存在使得>，则 ；

（3）证明：若数列A满足- ≤1（n=2,3, …,N）,则的元素个数不小于 -.

Answer 1

【答案】（1）的元素为和；（2）详见解析；（3）详见解析.

【解析】

试题（Ⅰ）关键是理解“G时刻”的定义，根据定义即可写出的所有元素；

（Ⅱ）要证，即证中含有一元素即可；

（Ⅲ）当时，结论成立.只要证明当时结论仍然成立即可.

试题解析：（Ⅰ）的元素为和.

（Ⅱ）因为存在使得，所以.

记，

则，且对任意正整数.

因此，从而.

（Ⅲ）当时，结论成立.

以下设.

由（Ⅱ）知.

设.记.

则.

对，记.

如果，取，则对任何.

从而且.

又因为是中的最大元素，所以.

从而对任意，，特别地，.

对.

因此.

所以.

因此的元素个数p不小于.