【题目】已知函数,.
(1)设函数,讨论的单调性;
(2)设函数,若的图象与的图象有,两个不同的交点,证明:.
【答案】(1)答案不唯一,具体见解析(2)证明见解析
【解析】
(1)求出的表达式并求导,分类讨论的单调性;(2)由题意可得有两个不同的根,则①,②, 消去参数得,构造函数求导研究函数单调性并利用放缩法推出,再次构造函数,通过证明来证明.
(1),定义域为,
.
当时,在上单调递增,在上单调递减.
当时,令,得,所以在,上单调递增;
令,得,所以在上单调递减.
当时,,在上单调递增.
当时,令,得,所以在,上单调递增;
令,得,所以在上单调递减.
(2),
因为函数的图象与的图象有两个不同的交点,
所以关于的方程,即有两个不同的根.
由题知①,②,
①+②得③,
②-①得④.
由③,④得,不妨设,记.
令,则,
所以在上单调递增,所以,
则,即,所以.
因为
所以,即.
令,则在上单调递增.
又,所以,
即,所以.
两边同时取对数可得,得证.
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【题目】如图,在边长为3的正方形ABCD中,点E,F分别在边AB,BC上(如图1),且BE=BF,将△AED,△DCF分别沿DE,DF折起,使A,C两点重合于点A′(如图2).
(1)求证:A′D⊥EF;
(2)BFBC时,求点A′到平面DEF的距离.
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【题目】2020年初,我国突发新冠肺炎疫情.面对“突发灾难”,举国上下心,继解放军医疗队于除夕夜飞抵武汉,各省医疗队也陆续增援,纷纷投身疫情防控与病人救治之中.为分担“逆行者”的后顾之忧,某大学学生志愿者团队开展“爱心辅学”活动,为抗疫前线工作者子女在线辅导功课.现随机安排甲、乙、丙3名志愿者为某学生辅导数学、物理、化学、生物4门学科,每名志愿者至少辅导1门学科,每门学科由1名志愿者辅导,则数学学科恰好由甲辅导的概率为______.
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【题目】定义:若函数在区间上的值域为,则称区间是函数的“完美区间”,另外,定义区间的“复区间长度”为,已知函数,则( )
A.是的一个“完美区间”
B.是的一个“完美区间”
C.的所有“完美区间”的“复区间长度”的和为
D.的所有“完美区间”的“复区间长度”的和为
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【题目】生男生女都一样,女儿也是传后人.由于某些地区仍然存在封建传统思想,头胎的男女情况可能会影响生二孩的意愿,现随机抽取某地200户家庭进行调查统计.这200户家庭中,头胎为女孩的频率为0.5,生二孩的频率为0.525,其中头胎生女孩且生二孩的家庭数为60.
(1)完成下列列联表,并判断能否有95%的把握认为是否生二孩与头胎的男女情况有关;
生二孩 | 不生二孩 | 合计 | |
头胎为女孩 | 60 | ||
头胎为男孩 | |||
合计 | 200 |
(2)在抽取的200户家庭的样本中,按照分层抽样的方法在生二孩的家庭中抽取了7户,进一步了解情况,在抽取的7户中再随机抽取4户,求抽到的头胎是女孩的家庭户数的分布列及数学期望.
附:
0.15 | 0.05 | 0.01 | 0.001 | |
2.072 | 3.841 | 6.635 | 10.828 |
(其中).
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【题目】如图,椭圆:的左、右焦点分别为,轴,直线交轴于点,,为椭圆上的动点,的面积的最大值为1.
(1)求椭圆的方程;
(2)过点作两条直线与椭圆分别交于且使轴,如图,问四边形的两条对角线的交点是否为定点?若是,求出定点的坐标;若不是,请说明理由.
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【题目】马林●梅森是17世纪法国著名的数学家和修道士,也是当时欧洲科学界一位独特的中心人物,梅森在欧几里得、费马等人研究的基础上对2p﹣1作了大量的计算、验证工作,人们为了纪念梅森在数论方面的这一贡献,将形如2P﹣1(其中p是素数)的素数,称为梅森素数.若执行如图所示的程序框图,则输出的梅森素数的个数是( )
A.3B.4C.5D.6
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【题目】已知椭圆过点,离心率为,为坐标原点.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)设,,为椭圆上的三点,与交于点,且,当的中点恰为点时,判断的面积是否为常数,并说明理由.
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