Question

设a为实数，函数f（x）=x²+|x-a|+1，x∈R．
（Ⅰ）若f（x）是偶函数，试求a的值；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求f（x）的最小值；
（Ⅲ）王小平同学认为：无论a取何实数，函数f（x）都不可能是奇函数．你同意他的观点吗？请说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）根据偶函数的定义即f（-x）=f（x），列出方程进行化简整理，求出a的值；
（Ⅱ）根据（Ⅰ）求出函数解析式，观察得x²≥0，|x|≥0，则f（x）≥1，即求出函数的最小值；（Ⅲ）先判断观点是正确的，再通过奇函数的定义即f（-x）=-f（x），进行证明．
解答：解：（Ⅰ）∵f（x）是偶函数，∴f（-x）=f（x）在R上恒成立，
即（-x）²+|-x-a|+1=x²+|x-a|+1，
化简整理，得ax=0在R上恒成立，∴a=0．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知a=0，∴f（x）=x²+|x|+1，
∵x²≥0，|x|≥0，∴f（x）≥1，当且仅当x=0时，f（x）=1，
∴当x=0时，f（x）的最小值为1．
（Ⅲ）王小平同学的观点是正确的．
若f（x）是奇函数，则f（-x）=-f（x）在R上恒成立，
∴f（0）=-f（0），∴f（0）=0，
但无论a取何实数，f（0）=|a|+1＞0，
∴f（x）不可能是奇函数．
点评：本题考查了函数奇偶性的应用，利用奇（偶）函数的定义进行求值、判断以及证明，求函数的最值可根据解析式的特点直接进行求解．