Question

（04年北京卷理）（14分）

f(x)是定义在[0，1]上的增函数，满足f(x)=2f()且f(1)=1，在每个区间（i=1，2，…）上，y=f(x)的图象都是斜率为同一常数k的直线的一部分。

（I）求f(0)及f()，f()的值，并归纳出f()（i=1，2，…）的表达式；

（II）设直线x=，x=，x轴及y=f(x)的图象围成的梯形的面积为a_i  (i=1，2，…)，记S(k)=(a₁+a₂+…+a_n)，求S(k)的表达式，并写出其定义域和最小值。

Answer 1

解析：（I）由f(0)=2f(0)，得f(0)=0.

        由f(1)=2f()及f(1)=1，得f()=f(1)= .

        同理，f()=f()=.

        归纳得f()=(i=1，2，…).

（II）当<x≤时，

f(x)= +k(x-)，

a_i=[++k(－)](－)

 =(1－)(i=1，2，…).

所以{a_n}是首项为(1－)，公比为的等比数列，

所以S(k)=(a₁+a₂+…+a_n)=(1－).

S(k)的定义域为0<k≤1，当k=1时取得最小值.