Question

已知函数f（x）=2asin²x+2sinxcosx-a（a为常数）在x=

3π

8

处取得最大值
（1）求a的值；
（2）求f（x）在[0，π]上的增区间．

Answer 1

分析：（1）化简f（x）=sin2x-acos2x，由题意可得

2

2

+

2

2

a=

a2+1

，解得a的值．
（2）利用两角差的正弦公式可得f（x）=

2

sin(2x-

π

4

)，由2kπ-

π

2

＜2x-

π

4

＜2kπ+

π

2

求得x的范围即得f（x）的增区间，再由x∈[0，π]，进一步确定f（x）在[0，π]上的
增区间．

解答：解：（1）f（x）=2sinxcosx-a（1-2sin²x）=sin2x-acos2x…（2分）
由题意：f(

3π

8

)=

a2+1

，即

2

2

+

2

2

a=

a2+1

，…（4分） 解得a=1…（6分）
（2）f(x)=sin2x-cos2x=

2

sin(2x-

π

4

)．…（8分）
由2kπ-

π

2

＜2x-

π

4

＜2kπ+

π

2

，解得kπ-

π

8

＜x＜kπ+

3π

8

，k∈Z…（10分）
所以f（x）在[0，π]上的增区间为[0，

3π

8

]，[

7π

8

，π]．  …（12分）

点评：本题主要考查两角和差的正弦公式，二倍角公式，正弦函数的单调性的应用，属于中档题．