Question

已知双曲线C的中心在原点，抛物线y2=2

5

x的焦点是双曲线C的一个焦点，且双曲线经过点(1，

3

)，又知直线l：y=kx+1与双曲线C相交于A、B两点．
（1）求双曲线C的方程；
（2）若

OA

⊥

OB

，求实数k值．

Answer 1

分析：（1）先求抛物线的焦点为F（

5

2

，0），从而设双曲线方程，再将点(1，

3

)代入，可求双曲线C的方程；
（2）将直线方程与双曲线方程联立，将向量垂直条件转化为数量积为0，从而可得方程，进而可解．

解答：解：（1）抛物线的焦点是（

5

2

，0），则双曲线的c=

5

2

．…（1分）
设双曲线方程：

x2

a2

-

y2

b2

=1，则有

1

a2

-

3

b2

=1…（2分）
解得：a2=

1

4

，b2=1⇒方程为：4x2-y2=1…（5分）
（2）联立方程：

y=kx+1 4x2-y2=1

⇒(4-k2)x2-2kx-2=0
当△＞0时，得-2

2

＜k＜2

2

(且k≠±2)…（7分）（未写△扣1分）
由韦达定理：x1+x2=

2k

4-k2

，x1x2=

-2

4-k2

…（8分）
设A(x1，y1)，B(x1+x2)，由

OA

⊥

OB

，x1x2+y1y2=0即（1+k²）x₁x₂+k（x₁+x₂）+1=0代入可得：k2=2，k=±

2

，检验合格．…（12分）

点评：本题以抛物线为载体，考查利用待定系数法求双曲线的标准方程，考查向量垂直，关键是利用其数量积为0求解．