Question

定义在正实数集上的函数f（x）满足下列条件：
①存在常数a（0＜a＜1），使得f（a）=1；②对任意实数m，当x∈R⁺时，有f（x^m）=mf（x）．
（1）求证：对于任意正数x，y，f（xy）=f（x）+f（y）；
（2）证明：f（x）在正实数集上单调递减；
（3）若不等式f（log_a²（4-x）+2）-f（log_a（4-x）⁸）≤3恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

解：（1）证明：∵x，y均为正数，且0＜a＜1，根据指数函数性质可知，总有实数m，n使得x=a^m，y=aⁿ，
于是f（xy）=f（a^maⁿ）=f（a^m+n）=（m+n）f（a）=m+n，…（2分）
又f（x）+f（y）=f（a^m）+f（aⁿ）=mf（a）+nf（a）=m+n，∴f（xy）=f（x）+f（y）（5分）
（2）证明：任设x₁，x₂∈R⁺，x₁＞x₂，可令x₁=x₂t（t＞1），t=a^α（α＜0）…（7分）
则由（1）知f（x₁）-f（x₂）=f（x₂t）-f（x₂）=f（x₂）+f（t）-f（x₂）=f（t）=f（a^α）=αf（a）=α＜0，
即f（x₁）＜f（x₂）．∴f（x）在正实数集上单调递减；
（3）令log_a（4-x）=t，原不等式化为f（t²+2）-f（8t）≤3，其中t＞0．∵f（x）-f（y）=f（x）+f（y^-1）=且f（a）=1（0＜a＜1），
不等式可进一步化为，…．（12分）
又由于单调递减，∴对于t＞0恒成立．…（13分）
而，
且当时．…..（16分）
∴，又0＜a＜1，终得．…..（18分）
分析：（1）分别取x=a^m，y=aⁿ，再结合已知条件中的等式，化简可以得出f（xy）=f（x）+f（y）；
（2）设两个正数x₁，x₂，且x₁＞x₂，通过构造x₁=x₂t（t＞1），t=a^α（α＞0），再用函数单调性的定义可以证出
f（x₁）-f（x₂）=αf（a）=α＜0，可得函数在在（0，+∞）上单调递减；
（3）先利用（1）的结论，将不等式化为，再根据（2）利用函数单调增的性质，转化为不等式，∴对于t＞0恒成立，实数a的范围就不难得出了．
点评：本题以抽象函数为依托，考查利用函数单调性的定义解函数值不等式，属于难题．解决抽象函数的问题一般应用赋值法，在解题过程中体现了转化的思想，在转化过程中还要注意函数的定义域．