Question

若实数x，y，m满足|x-m|＞|y-m|，则称x比y远离m．
（Ⅰ）若x²-1比1远离0，求x的取值范围；
（Ⅱ）已知函数f（x）的定义域D={x|x≠

kπ

2

+

π

4

，k∈Z，x∈R}．任取x∈D，f（x）等于sinx和cosx中远离0的那个值．写出函数f（x）的解析式，并指出它的基本性质（结论不要求证明）．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根据定义列出不等式即可求出；
（Ⅱ）通过解出|sinx|＞|cosx|、|sinx|＜|cosx|，即可求出f（x）的解析式及定义域；

解答：解：（Ⅰ） 根据定义可得：|x²-1|＞1，∴x²-1＞1或x²-1＜-1，解得x∈(-∞，-

2

)∪(

2

，+∞)；
（Ⅱ）（1）①若|sinx|＞|cosx|，（*）
则当x=kπ+

π

2

(k∈Z)时，cosx=0，上式（*）成立，此时，f（x）=sinx；
则当x≠kπ+

π

2

（k∈Z）时，（*）可化为|tanx|＞1，即tanx＞1或tanx＜-1，
解得x∈(kπ+

π

4

，kπ+

π

2

)∪(kπ+

π

2

，kπ+

3π

4

)．
综上可知：当x∈(kπ+

π

4

，kπ+

3π

4

)（k∈Z）时，f（x）=sinx；
②若|sinx|＜|cosx|，由①可知：x∈(kπ-

π

4

，kπ+

π

4

)（k∈Z）．
∴f(x)=

sinx，x∈(kπ+ π 4 ，kπ+ 3π 4 )k∈Z cosx，x∈(kπ- π 4 ，kπ+ π 4 )k∈Z

．
（2）其基本性质如下：①解析式与定义域见上；②画出图象如图所示：
③值域为[-1，-

2

2

)∪(

2

2

，1]；④非奇非偶函数；⑤在定义域内不单调；⑥是周期为2π的函数．

点评：周期理解新定义、熟练掌握三角函数的图象和性质及一元二次不等式的解法是解题的关键．