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经过点且与直线相切的动圆的圆心轨迹为.点在轨迹上,且关于轴对称,过线段(两端点除外)上的任意一点作直线,使直线与轨迹在点处的切线平行,设直线与轨迹交于点

(1)求轨迹的方程;

(2)证明:

(3)若点到直线的距离等于,且△的面积为20,求直线的方程.

 

【答案】

(1);(2)详见解析;(3).

【解析】

试题分析:(1)方法1是利用直接法,设动点坐标为,根据题中条件列式并化简进而求出动点的轨迹方程;方法2是将问题转化为圆心到定点的距离等于点到定直线的距离,利用抛物线的定义写出轨迹的方程;(2)由于轴,利用直线与直线的斜率互为相反数证明;(3)方法1是先将的方程与抛物线的方程联立求出点的坐标,并根据一些几何性质求出,并将的面积用点的坐标表示以便于求出点的坐标,结合点的坐标求出直线的方程;方法2是利用(2)中的条件与结论,利用直线确定点和点坐标之间的关系,借助弦长公式求出,并将的面积用点的坐标表示以便于求出点的坐标,结合点的坐标求出直线的方程.

试题解析:(1)方法1:设动圆圆心为,依题意得,.        1分

整理,得.所以轨迹的方程为.                   2分

方法2:设动圆圆心为,依题意得点到定点的距离和点到定直线的距离相等,

根据抛物线的定义可知,动点的轨迹是抛物线.                    1分

且其中定点为焦点,定直线为准线.

所以动圆圆心的轨迹的方程为.    2分

(2)由(1)得,即,则

设点,由导数的几何意义知,直线的斜率为

.          3分

由题意知点.设点

.                  4分

因为.           5分

由于,即.         6分

所以.                               7分

(3)方法1:由点的距离等于,可知.            8分

不妨设点上方(如图),即,直线的方程为:

解得点的坐标为.                       10分

所以

由(2)知,同理可得.            11分

所以△的面积

解得.                                   12分

时,点的坐标为

直线的方程为,即.                13分

时,点的坐标为

直线的方程为,即.               14分

方法2:由点的距离等于,可知.             8分

由(2)知,所以,即

由(2)知

所以

.        ①

由(2)知.           ②

不妨设点上方(如图),即,由①、②解得          10分

因为

同理.                               11分

以下同方法1.

考点:直接法求轨迹方程,抛物线的定义,函数图象的切线方程的求解,斜率公式、弦长公式

 

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