Question

如图，已知多面体ABCD-A₁B₁C₁D₁，它是由一个长方体ABCD-A'B'C'D'切割而成，这个长方体的高为b，底面是边长为a的正方形，其中顶点A₁，B₁，C₁，D₁均为原长方体上底面A'B'C'D'各边的中点．
（1）若多面体面对角线AC，BD交于点O，E为线段AA₁的中点，求证：OE∥平面A₁C₁C；
（2）若a=4，b=2，求该多面体的体积；
（3）当a，b满足什么条件时AD₁⊥DB₁，并证明你的结论．

Answer 1

分析：（1）连接AC，BD交于O点，由题意可知，OE为△AA₁C的中位线，由线面平行的判定定理可证OE∥平面A₁C₁C；
（2）可补全长方体ABCD-A'B'C'D'，利用长方体的体积减去四个三棱锥（以A为顶点，A^′A₁D₁等为底面）的体积即可得答案；
（3）CD⊥平面ADD₁，可知CD⊥AD₁，若AD₁⊥DB₁，AD₁⊥平面CDD₁B₁，从而有AD₁⊥DD₁，取AD中点M，在RtADD₁中，2D₁M=AD，即可得到a=2b．

解答：证明：（1）连接AC，BD交于O点，
∵E为AA₁的中点，O为AC的中点，
∴在△AA₁C中，OE为△AA₁C的中位线，
∴OE∥A₁C，
∵OE?平面A₁C₁C，A₁C?平面A₁C₁C，
∴OE∥平面A₁C₁C；
（2）多面体表面共包括10个面，补全长方体ABCD-A'B'C'D'，则知多面体ABCD-A₁B₁C₁D₁体积为：
VABCD-A1B1C1D1=V_{ABCD-A′B′C′D′}-4VA-A′A1D1
=4×4×2-4×

1

3

×

1

2

×2×2×2
=

80

3

，
（3）易知CD⊥平面ADD₁，D₁B₁∥DC，D₁B₁，OC确定平面CDD₁B₁，
∵AD₁?平面ADD₁，
∴CD⊥AD₁，若AD₁⊥DB₁，
∵DB₁∩CD=D，
∴AD₁⊥平面CDD₁B₁，
∵DD₁?平面CDD₁B₁，
∴AD₁⊥DD₁，取AD中点M，
则D₁M∥A'A，且D₁M=A'A，
∴在RtADD₁中，2D₁M=AD，即a=2b
即：当a=2b时，AD₁⊥DB₁．

点评：本题考查直线与平面平行的判定，考查组合几何体的体积问题，补全长方体是解决问题（2）（3）的关键，考查学生分析问题、转化问题与解决问题的能力，属于难题．