Question

(理)设函数f(x)=1+9x6tlnx，在x=a，x=b处分别取得极大值和极小值，连接函数图像上A(a，f(a))，B(b，f(b))两点．

(1)求实数t的取值范围；

(2)是否存在实数t，使得线段AB(包括两端点)与直线x=1相交?若存在，求出t的取值范围；若不存在，请说明理由．

(文)已知函数f(x)=mx3-x的图像上，以N(1，n)为切点的切线的倾斜角为．

(1)求m，n的值；

(2)是否存在最小的正整数k，使得不等式f(x)≤k-1991对于x∈[-1，3]恒成?如果存在，请求出最小的正整数k；如果不存在，请说明理由。

(3)求证：|f(sinx)+f(cosx)|≤2f(t+)(x∈R，t＞0)．

Answer 1

答案：(理)(1)f′(x)=9+

依题意可知，a＞0，b＞0，f′(a)=f′(b)=0，a≠b，

∴a、b为f′(x)=0的两个正根

∴

又A=(-6t)2-4×9×2t=36t(t-2)＞0，

∴t＞2或t＜2(不合题意)，故得t＜2．

(2)依题意得(a-1)(b-1)≤0ab-(a+b)+1≤0+1≤0t≥，符合t＞2．故当t≥时，线段AB与直线x=1相交．

(文)(1)求导数，有f′(x)=3mx²-1．

依题意得tan=f′(1)，即1=3m-1，m=，

∴f(x)=x³-x，又f(1)=n，故n=．

(2)令f′(x)=2x²-1=0，得x=.

当-1≤x＜时，f′(x)=2x²-1＞0；

当＜x≤3时，f′(x)=2x²-1＜0；

当＜x＜时，f′(x)=2x²-1＜0．

又f(-1)=，f()=,f()=，f(3)=15．

因此，当x∈[-1，3]时，≤f(x)≤15

故要使得不等式f(x)≤k-1991对于x∈[-1，3]恒成立，则k≥15+1991=2006．

所以，存在最小的正整数k=2006使得不等式f(x)≤k-1991对于x∈[-1，3]恒成立．

(3)解法一：|f(sinx)+f(cosx)|

=|(sin³x-sinx)+(cos³x-cosx)|

=|(sin³x+cos³x)-(sinx+cosx)|

=|(six+cosx)[(sin²x-sinxcosx+cos²x)-1]|

=|sinx+cosx|·|sinxcosx|

=|sinx+cosx|³

=|sin(x+)|²≤.

又∵t＞0，∴t+≥，t²+≥1．

∴2f(t+)=2(t+)[]≥.

综上可得，|f(sinx)+f(cosx)|≤2f(t+)，x∈R，t＞0．

解法二：由(2)知，函数f(x)在[-1，]上是增函数；在[]上是减函数；在[，1]上是增函数．

又因为f(-1)=，f()=，f()=，f(1)=．

所以，当x∈[-1，1]时，≤f(x)≤，

即|f(x)|≤．

因为sinx，cosx∈[-1，1]，所以|f(sinx)|≤，|f(cosx)|≤

所以|f(sinx)+f(cosx)|≤|f(sinx)|+|f(cosx)|≤+≤.

又因为t＞0，所以t+≥＞1且函数f(x)在[1，+∞)上是增函数．

所以2f(t+)≥2f()=.

综上可知|f(sinx)+f(cosx)|≤2f(t+)，x∈R。