分析：（1）设F2，M的坐标，利用点M在双曲线C上，∠MF1F2=30°，可得|MF1|-|MF2|=b2=2，利用双曲线的定义，可得双曲线C的方程；
（2）先确定两条渐近线方程，设双曲线C上的点Q（x0，y0），求出点Q到两条渐近线的距离，结合Q（x0，y0）在双曲线C上，即可求d1•d2的值；
（3）解一：利用圆的参数方程设P的坐标，求出切线l的方程代入双曲线，两边除以x2，再利用韦达定理，即可得到结论；
解二：设A（x1，y1），B（x2，y2），切线l的方程为：x0x+y0y=2代入双曲线C中，利用韦达定理，结合向量的数量积，可得结论．
解答：解：（1）设F
2，M的坐标分别为
(，0)，(，y0)-------------------（1分）
因为点M在双曲线C上，所以
1+b2-=1，即
y0=±b2，所以
|MF2|=b2------------（2分）
在Rt△MF
2F
1中，∠MF
1F
2=30°，
|MF2|=b2，所以
|MF1|=2b2------------（3分）
由双曲线的定义可知：
|MF1|-|MF2|=b2=2故双曲线C的方程为：
x2-=1-------------------（4分）
（2）由条件可知：两条渐近线分别为
l1：x-y=0；l2：x+y=0-------------------（5分）
设双曲线C上的点Q（x
0，y
0），
则点Q到两条渐近线的距离分别为
d1=，d2=-------------------（7分）
所以
d1•d2=•=-------------------（8分）
因为Q（x
0，y
0）在双曲线C：
x2-=1上，所以
2x02-y02=2-------------------（9分）
故
d1•d2==-------------------（10分）
（3）解一：因为P（x
0，y
0）为圆O：x
2+y
2=2上任意一点，设
x0=cosα，y0=sinα所以切线l的方程为：
xcosα+ysinα=-------------------（12分）
代入双曲线C：2x
2-y
2=2=（xcosα+ysinα）
2两边除以x
2，得
(1+sin2α)()2+2sinαcosα()+cos2α-2=0-------------------（13分）
设A（x
1，y
1），B（x
2，y
2），则
，是上述方程的两个根
由韦达定理知：
==-1，即x
1x
2+y
1y
2=0-------------------（15分）
所以
•=x1x2+y1y2=0-------------------（16分）
解二：设A（x
1，y
1），B（x
2，y
2），切线l的方程为：x
0x+y
0y=2-------------------（12分）
①当y
0≠0时，切线l的方程代入双曲线C中，化简得：
(2y02-x02)x2+4x0x-(2y02+4)=0所以：
x1+x2=-，x1x2=--------------------（13分）
又
y1y2=•=[4-2x0(x1+x2)+x02x1x2]=所以
•=x1x2+y1y2=-+==0-----------（15分）
②当y
0=0时，易知上述结论也成立．
所以
•=x1x2+y1y2=0-------------------（16分）
点评：本题考查双曲线的标准方程，考查双曲线的几何性质，考查圆的切线方程，考查韦达定理的运用，考查向量知识，属于中档题．
名校课堂系列答案
)为圆心，1为半径的圆相切，又知C的一个焦点与A关于y = x对称．
的左、右焦点分别为F1、F2，其一条渐近方程为y=x，点 
在该双上，则