Question

已知函数f（x）=kx，（k≠0）且满足f（x+1）•f（x）=x²+x，函数g（x）=a^x，（a＞0且a≠1）．
（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）若函数f（x）为R上的增函数，h(x)=

f(x)+1

f(x)-1

(f(x)≠1)，问是否存在实数m使得h（x）的定义域和值域都为[m，m+1]？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由；
（Ⅲ）已知关于x的方程g（2x+1）=f（x+1）•f（x）恰有一实数解为x₀，且x0∈(

1

4

，

1

2

)求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）由函数f（x）=kx，（k≠0）且满足f（x+1）•f（x）=x²+x，代入构造关于k的方程，解方程求出k值，可得得函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）若函数f（x）为R上的增函数，则f（x）=x，h（x）=

x+1

x-1

=1+

2

x-1

，分析函数的单调性后，可得

h(m)=m+1 h(m+1)=m

，解方程组可得满足条件的m的值；
（III）由关于x的方程g（2x+1）=f（x+1）•f（x），可得函数y=a^2x+1的图象与函数y=x²+x的图象在有且只有一个交点，且交点横坐标在区间(

1

4

，

1

2

)上，进而构造关于a的不等式组，解不等式组可得实数a的取值范围

解答：解：（I）∵f（x）=kx，
∴f（x）=k（x+1）
∴f（x+1）•f（x）=k²（x+1）x=x²+x
解得k=±1
∴f（x）=x或f（x）=-x
（II）若函数f（x）为R上的增函数，则f（x）=x
则h(x)=

f(x)+1

f(x)-1

=

x+1

x-1

=1+

2

x-1

，（x≠1）
当x＜1或x＞1时，函数h（x）均为减函数，若h（x）的定义域和值域都为[m，m+1]
则

h(m)=m+1 h(m+1)=m

即

m+1 m-1 =m+1 (m+1)+1 (m+1)-1 =m

解得：m=-1或m=2
（III）∵关于x的方程g（2x+1）=f（x+1）•f（x）恰有一实数解为x₀，且x0∈(

1

4

，

1

2

)
∴函数y=a^2x+1的图象与函数y=x²+x的图象在有且只有一个交点，且交点横坐标在区间(

1

4

，

1

2

)上，
故

0＜a＜1 a2× 1 4 +1＞( 1 4 )2+ 1 4 a2× 1 2 +1＜( 1 2 )2+ 1 2

解得(

5

16

)

2

3

＜a＜

3

2

点评：本题的考点是函数与方程的综合应用，考察了绝对值函数，函数的定义域、值域构造方程的思想，二次方程根与系数的关系等，解题的关键是理解题意，将问题正确转化，进行分类讨论探究，本题考察了分类讨论的思想，方程的思想，考察了推理判断能力，是一道综合性较强的题，思维难度大，解题时要严谨，本题易因为考虑不完善出错．