分析 (Ⅰ)当p=2时,an+1-2an=qan-2qan-1=q(an-2an-1),(n≥2,q≠0),由此能证明{bn}是等比数列.
(Ⅱ)由已知得cn=an+1-qan=pan-pqan-1,得cn+1=pan+1-pqan=pcn,由数列{cn}为常数列,能推导出p=1;当p=1时,cn=an+1-qan=an-qan-1=cn-1,从而得到数列{cn}为常数列.由此能证明“数列{cn}为常数列”的充要条件是“p=1”.
解答 证明:(Ⅰ)当p=2时,在数列{an}中,
a1=1,a2=3,且an+1=(2+q)an-2qan-1(n≥2,q≠0),
∴an+1-2an=qan-2qan-1=q(an-2an-1),(n≥2,q≠0),
a2-2a1=3-2×1=1,
bn=an+1-2an(n∈N*),
∴{bn}是首项为1,公比为q的等比数列.
(Ⅱ)∵a1=1,a2=3,且an+1=(p+q)an-pqan-1(n≥2,q≠0),
∴cn=an+1-qan=pan-pqan-1=p(an-qan-1)=pan-pqan-1,(n≥2,q≠0),
∴cn+1=pan+1-pqan=p(cn+qan)-pqan=pcn,
∴由数列{cn}为常数列,得p=1;
当p=1时,a1=1,a2=3,且an+1=(1+q)an-qan-1(n≥2,q≠0).
cn=an+1-qan=an-qan-1=cn-1,
∴数列{cn}为常数列.
∴“数列{cn}为常数列”的充要条件是“p=1”.
点评 本题考查等比数列的证明,考查数列为常数列的充要条件的证明,是中档题,解题时要认真审题,注意等比数列的性质的合理运用.
科目:高中数学 来源: 题型:选择题
A. | $\sqrt{5}$ | B. | $\frac{{\sqrt{5}}}{2}$ | C. | 2 | D. | $\sqrt{2}$ |
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